第3章 分布の特性値（統計検定準1級）

$X\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ の平均・中央値・最頻値を求めよ．

解 平均は $1/\lambda$（第2章）．中央値は $F(m)=1-e^{-\lambda m}=\frac12$ より $m=\dfrac{\log 2}{\lambda}\approx\dfrac{0.693}{\lambda}$．密度 $\lambda e^{-\lambda x}$ は $x=0$ で最大なので最頻値は $0$．「最頻値 $0<$ 中央値 $0.693/\lambda<$ 平均 $1/\lambda$」となっています．

(a) $X\sim\mathrm{U}(0,1)$，(b) $X\sim\mathrm{Ex}(1)$ の歪度・尖度を求めよ．

解 (a) $\mu=\frac12$，$\sigma^2=\frac1{12}$．$Y=X-\frac12\sim\mathrm{U}(-\frac12,\frac12)$ で，対称なので $\mu_3=0$．$\mu_4=\int_{-1/2}^{1/2}y^4\,\mathrm{d}y=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{32}=\frac1{80}$．$\beta_2=\dfrac{1/80}{(1/12)^2}=\dfrac{144}{80}=1.8$．正規分布の3より小さい（裾がない）．

(b) ${\operatorname{E}}[X^r]=r!$（$\int_0^\infty x^re^{-x}\,\mathrm{d}x=\Gamma(r+1)$）．$\mu=1$，$\mu_2'=2$，$\mu_3'=6$，$\mu_4'=24$．公式より $\mu_2=2-1=1$，$\mu_3=6-3\cdot2+2=2$，$\mu_4=24-4\cdot6+6\cdot2-3=9$．$\beta_1=2/1=2$，$\beta_2=9/1=9$（超過尖度6）．キュムラントから求めても $K(t)=-\log(1-t)$ より $\kappa_3=2,\ \kappa_4=6$ で，$\kappa_3/\kappa_2^{3/2}=2$，$\kappa_4/\kappa_2^2=6$ と一致します（第2章）．

第2章の例で扱った $f(x,y)=x+y\ (0<x,y<1)$ について，${\operatorname{Cov}}[X,Y]$ と $\rho_{XY}$ を求めよ．

解 $f_X(x)=x+\frac12$ なので$${\operatorname{E}}[X]=\int_0^1x\Bigl(x+\frac12\Bigr)\,\mathrm{d}x=\frac13+\frac14=\frac7{12},\qquad {\operatorname{E}}[X^2]=\int_0^1x^2\Bigl(x+\frac12\Bigr)\,\mathrm{d}x=\frac14+\frac16=\frac5{12}.$$ ${\operatorname{V}}[X]=\frac5{12}-\frac{49}{144}=\frac{11}{144}$．対称性から $Y$ も同じ．$${\operatorname{E}}[XY]=\int_0^1\!\!\int_0^1xy(x+y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_0^1\!\!\int_0^1(x^2y+xy^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac13\cdot\frac12+\frac12\cdot\frac13=\frac13 .$$ ${\operatorname{Cov}}[X,Y]=\frac13-\frac{49}{144}=-\frac1{144}$，$\rho_{XY}=\dfrac{-1/144}{11/144}=-\dfrac1{11}\approx-0.091$．弱い負の相関です．

$P\sim\mathrm{U}(0,1)$ とし，$P=p$ のもとで $Y\sim\mathrm{Bin}(10,p)$ とする．${\operatorname{E}}[Y]$ と ${\operatorname{V}}[Y]$ を求めよ．

解 ${\operatorname{E}}[Y\mid P]=10P$，${\operatorname{V}}[Y\mid P]=10P(1-P)$．${\operatorname{E}}[P]=\frac12$，${\operatorname{E}}[P^2]=\frac13$，${\operatorname{V}}[P]=\frac1{12}$．$${\operatorname{E}}[Y]={\operatorname{E}}[10P]=5.$$ $${\operatorname{V}}[Y]={\operatorname{E}}[10P(1-P)]+{\operatorname{V}}[10P]=10\Bigl(\frac12-\frac13\Bigr)+100\cdot\frac1{12}=\frac{5}{3}+\frac{25}{3}=10.$$ もし成功確率が $0.5$ に固定されていれば ${\operatorname{V}}[Y]=2.5$ ですが，成功確率自体のばらつき（群間の項 $25/3$）のせいで分散が4倍になります．このような現象を過分散といい，第18章のポアソン回帰などで問題になります．

$(X,Y)$ が $0<y<x<1$ 上の一様分布（密度2）に従うとき，${\operatorname{E}}[Y\mid X]$，${\operatorname{V}}[Y\mid X]$ を求め，分散の分解を確かめよ．

解 $f_X(x)=2x$，$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{2}{2x}=\frac1x\ (0<y<x)$．すなわち $X=x$ のもとで $Y\sim\mathrm{U}(0,x)$ なので$${\operatorname{E}}[Y\mid X]=\frac X2,\qquad{\operatorname{V}}[Y\mid X]=\frac{X^2}{12}.$$ ${\operatorname{E}}[X]=\int_0^12x^2\,\mathrm{d}x=\frac23$，${\operatorname{E}}[X^2]=\int_0^12x^3\,\mathrm{d}x=\frac12$，${\operatorname{V}}[X]=\frac12-\frac49=\frac1{18}$．$${\operatorname{E}}\bigl[{\operatorname{V}}[Y\mid X]\bigr]=\frac{1}{12}\cdot\frac12=\frac1{24},\qquad{\operatorname{V}}\bigl[{\operatorname{E}}[Y\mid X]\bigr]=\frac14\cdot\frac1{18}=\frac1{72}.$$ 和は $\frac1{24}+\frac1{72}=\frac4{72}=\frac1{18}$．一方，直接 $f_Y(y)=2(1-y)$ から ${\operatorname{E}}[Y]=\frac13$，${\operatorname{E}}[Y^2]=\frac16$，${\operatorname{V}}[Y]=\frac16-\frac19=\frac1{18}$．一致しました．

気温 $X$（摂氏）の平均が $20$，標準偏差が $5$，売上 $Y$ との相関係数が $0.6$，歪度が $-0.4$ であった．華氏 $F=1.8X+32$ に変換したときの平均・標準偏差・歪度・$Y$ との相関係数は？

解 平均 $1.8\times20+32=68$，標準偏差 $1.8\times5=9$，歪度 $-0.4$（$a>0$ なので不変），相関係数 $0.6$（不変）．

データ $3,\,5,\,6,\,6,\,8,\,9,\,12,\,15$（$n=8$）について，平均，中央値，最頻値，標本分散，不偏分散，標本歪度，標本尖度を求めよ．

解 $\sum x_i=64$ より $\bar x=8$．中央値は4番目と5番目の平均 $(6+8)/2=7$．最頻値は6．偏差 $x_i-8$：$-5,-3,-2,-2,0,1,4,7$．$$\sum(x_i-\bar x)^2=25+9+4+4+0+1+16+49=108 .$$ （検算：$\sum x_i^2=620$，$620-8\times64=108$．）標本分散 $m_2=108/8=13.5$，不偏分散 $s^2=108/7\approx15.43$．$$\sum(x_i-\bar x)^3=-125-27-8-8+0+1+64+343=240,\quad m_3=30,$$ $$\sum(x_i-\bar x)^4=625+81+16+16+0+1+256+2401=3396,\quad m_4=424.5 .$$ $$b_1=\frac{30}{13.5^{3/2}}\approx\frac{30}{49.60}\approx0.605\ (\text{右に歪んでいる}),\qquad b_2=\frac{424.5}{13.5^2}=\frac{424.5}{182.25}\approx2.33 .$$ 平均8 $>$ 中央値7 $>$ 最頻値6 と，右に裾の長い分布の典型的な並びです．

グループAは20人で平均5，標本分散（$n$ で割る）4，グループBは30人で平均10，標本分散9である．全50人の平均と標本分散を求めよ．

解 全体平均 $\bar x=(20\times5+30\times10)/50=8$．分散の分解（データ版）を使うと$$\text{全体の分散}=\underbrace{\frac{20\times4+30\times9}{50}}_{\text{群内の平均}=7}+\underbrace{\frac{20(5-8)^2+30(10-8)^2}{50}}_{\text{群間}=6}=13 .$$ 「各グループの分散の平均」7だけでは足りず，グループの平均の違いによる6を足す必要があります．3.2節の分散の分解がデータでもそのまま成り立っています．

${\boldsymbol{a}}=(1,2)^\top$ のとき，${\boldsymbol{a}}^\top{\boldsymbol{a}}$ と ${\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}}^\top$ を求めよ．

解 ${\boldsymbol{a}}^\top{\boldsymbol{a}}=1+4=5$（スカラー）．${\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}}^\top=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}(1\ \ 2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$（$2\times2$ の対称行列）．縦 $\times$ 横で行列，横 $\times$ 縦でスカラー，と覚えましょう．

${\boldsymbol{X}}=(X_1,X_2)^\top$ の分散共分散行列が ${\boldsymbol{\Sigma}}=\begin{pmatrix}4&2\\2&9\end{pmatrix}$ のとき，$Y_1=X_1+X_2$，$Y_2=X_1-X_2$ の分散共分散行列を求めよ．

解 $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ とおくと ${\boldsymbol{Y}}=A{\boldsymbol{X}}$．$$A{\boldsymbol{\Sigma}}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\2&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&11\\2&-7\end{pmatrix},$$ $$A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top=\begin{pmatrix}6&11\\2&-7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17&-5\\-5&9\end{pmatrix}.$$ よって ${\operatorname{V}}[Y_1]=17$，${\operatorname{V}}[Y_2]=9$，${\operatorname{Cov}}[Y_1,Y_2]=-5$．成分で検算すると ${\operatorname{V}}[X_1+X_2]=4+9+2\cdot2=17$，${\operatorname{V}}[X_1-X_2]=4+9-4=9$，${\operatorname{Cov}}[X_1+X_2,X_1-X_2]={\operatorname{V}}[X_1]-{\operatorname{V}}[X_2]=4-9=-5$．一致します．

${\boldsymbol{\Sigma}}=\begin{pmatrix}4&1&0\\1&2&-1\\0&-1&3\end{pmatrix}$ のとき，$U=X_1+X_2+X_3$，$W=X_1-2X_3$ の分散と相関係数を求めよ．

解 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&-2\end{pmatrix}$（$2\times3$）．$$A{\boldsymbol{\Sigma}}=\begin{pmatrix}5&2&2\\4&3&-6\end{pmatrix},\qquad A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top=\begin{pmatrix}5+2+2&5-4\\4+3-6&4+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9&1\\1&16\end{pmatrix}.$$ ${\operatorname{V}}[U]=9$，${\operatorname{V}}[W]=16$，${\operatorname{Cov}}[U,W]=1$，${\operatorname{Corr}}[U,W]=\dfrac{1}{3\times4}=\dfrac1{12}\approx0.083$．