第3章 分布の特性値の練習問題（統計検定準1級）

正解：〔1〕0.83　〔2〕②

3つの代表値は求める道具が違います：中央値は分布関数 $F(m)=1/2$，最頻値は密度の最大点（$f'(x)=0$），平均は $\int xf(x)\,\mathrm{d}x$ または（$X\ge0$ なので）生存関数の積分．密度 $2xe^{-x^2}$ は $-e^{-x^2}$ の微分なので，分布関数が簡単に求まります．

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\bigl(-e^{-x^2}\bigr)=2xe^{-x^2}$ なので，$x>0$ で$$F(x)=\int_0^x2te^{-t^2}\,\mathrm{d}t=\Bigl[-e^{-t^2}\Bigr]_0^x=1-e^{-x^2},\qquad S(x)=1-F(x)=e^{-x^2}.$$ 〔1〕$1-e^{-m^2}=\frac12$ より $e^{-m^2}=\frac12$，$m^2=\log2$．与えられた値を使い，電卓の $\sqrt{\ }$ で$$m=\sqrt{\log 2}=\sqrt{0.6931}=0.8325\cdots\ \to\ \textbf{0.83}.$$ 〔2〕最頻値：$f'(x)=2e^{-x^2}+2x\cdot(-2x)e^{-x^2}=2e^{-x^2}(1-2x^2)$．$f'(x)=0$ より $x=1/\sqrt2$，その前後で $f'$ は正から負に変わるので最大点．$M=1/\sqrt2=0.707$．

平均：$X>0$ なので生存関数の積分で$$\mu=\int_0^\infty S(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}{2}=\frac{\sqrt{3.1416}}{2}=0.886 .$$ よって $M=0.707<m=0.833<\mu=0.886$ で，②．

• 〔1〕で $F(m)=1/2$ を解くところを $f(m)=1/2$（密度の値）とする．

• 〔2〕で「平均と中央値は一致する」と決めつけて ⑤ を選ぶ．一致するのは左右対称な場合です．

右に裾が長い単峰の分布では「$M<m<\mu$」の並びになることが多く（指数分布でも $0<\log2/\lambda<1/\lambda$），結果と整合的です．平均を $\int_0^\infty x\cdot2xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ と部分積分で求めても同じ値になります．

参照参考書 3.1.1項（平均・中央値・最頻値，例「指数分布の代表値」），2.1.6項（生存関数で期待値）／WB p.13

正解：〔1〕1.50　〔2〕3.25

値が2つしかない離散分布の歪度・尖度 $\to$ $X-\mu$ の分布を書き下し，中心モーメントを直接計算して標準偏差のべきで割ります．

$\mu=p=0.2$，$\sigma^2=p(1-p)=0.16$，$\sigma=0.4$．$X-\mu$ は確率 $0.2$ で $0.8$，確率 $0.8$ で $-0.2$ をとります．$$\begin{aligned} {\operatorname{E}}[(X-\mu)^3]&=0.2\times0.8^3+0.8\times(-0.2)^3=0.1024-0.0064=0.096,\\ {\operatorname{E}}[(X-\mu)^4]&=0.2\times0.8^4+0.8\times(-0.2)^4=0.08192+0.00128=0.0832 . \end{aligned}$$ 〔1〕$\beta_1=\dfrac{0.096}{0.4^3}=\dfrac{0.096}{0.064}=\textbf{1.50}$．

〔2〕$\beta_2=\dfrac{0.0832}{0.4^4}=\dfrac{0.0832}{0.0256}=\textbf{3.25}$．

• 尖度を3を引く流儀（超過尖度）で答えて $0.25$ とする．問題文は「3を引かない定義」です．

• 分母を $\sigma^2=0.16$ のべき（$0.16^3$ など）にしてしまう．分母は $\sigma^3$，$\sigma^4$ です．

ベルヌーイ分布の公式 $\beta_1=\dfrac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}}=\dfrac{0.6}{0.4}=1.5$，$\beta_2=\dfrac{1-3p(1-p)}{p(1-p)}=\dfrac{1-0.48}{0.16}=3.25$ と一致．$p<1/2$ で「まれに1が出る」右裾の分布なので，歪度が正なのも整合的です．

参照参考書 3.1.3項（モーメント），3.1.4項（歪度と尖度）／WB p.13〜14

正解：〔1〕0.019　〔2〕0.40

同時密度から共分散 $\to$ ${\operatorname{Cov}}[X,Y]={\operatorname{E}}[XY]-{\operatorname{E}}[X]{\operatorname{E}}[Y]$．必要な期待値は ${\operatorname{E}}[X]$，${\operatorname{E}}[Y]$，${\operatorname{E}}[XY]$，${\operatorname{E}}[X^2]$，${\operatorname{E}}[Y^2]$ の5つで，三角形 $0<y<x<1$ では $x$ を外側・$y$ を内側に積分すると楽です．

${\operatorname{E}}[g(X,Y)]=\int_0^1\int_0^x g(x,y)\,3x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ で計算します．$$\begin{aligned} {\operatorname{E}}[X]&=\int_0^1 3x^2\cdot x\,\mathrm{d}x=\frac34, & {\operatorname{E}}[X^2]&=\int_0^1 3x^2\cdot x^2\,\mathrm{d}x=\frac35,\\ {\operatorname{E}}[Y]&=\int_0^1 3x\cdot\frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x=\frac38, & {\operatorname{E}}[Y^2]&=\int_0^1 3x\cdot\frac{x^3}{3}\,\mathrm{d}x=\frac15,\\ {\operatorname{E}}[XY]&=\int_0^1 3x\cdot x\cdot\frac{x^2}{2}\,\mathrm{d}x=\frac3{10}. && \end{aligned}$$ （$X$ の周辺密度は $\int_0^x3x\,\mathrm{d}y=3x^2$ です．）

〔1〕$${\operatorname{Cov}}[X,Y]=\frac3{10}-\frac34\cdot\frac38=\frac{48}{160}-\frac{45}{160}=\frac{3}{160}=0.01875 .$$ 小数第4位を四捨五入して 0.019．

〔2〕$${\operatorname{V}}[X]=\frac35-\frac9{16}=\frac3{80}=0.0375,\qquad {\operatorname{V}}[Y]=\frac15-\frac9{64}=\frac{19}{320}=0.059375 .$$ $$\rho=\frac{0.01875}{\sqrt{0.0375\times0.059375}}=\frac{0.01875}{\sqrt{0.0022266}}=\frac{0.01875}{0.047187}=0.3974\cdots\ \to\ \textbf{0.40}.$$

• 周辺密度を求めるときや ${\operatorname{E}}[Y]$ の内側の積分範囲を $0<y<1$ にしてしまう．

• 途中で ${\operatorname{Cov}}$ を $0.019$ に丸めてから相関係数を計算する（$0.019/0.047187=0.403$ で，今回は結果が同じでも危険）．分数のまま最後に割ります．

$X=x$ のもとで $Y\sim\mathrm{U}(0,x)$（条件付き密度 $1/x$）なので ${\operatorname{E}}[Y\mid X]=X/2$ で，${\operatorname{Cov}}[X,Y]={\operatorname{Cov}}[X,{\operatorname{E}}[Y\mid X]]={\operatorname{V}}[X]/2=3/160$．さらに ${\operatorname{V}}[Y]={\operatorname{E}}[X^2]/12+{\operatorname{V}}[X]/4=\frac1{20}+\frac3{320}=\frac{19}{320}$ と，分散の分解でも一致します．

参照参考書 3.2.1項（共分散と相関係数，例「同時密度 $x+y$ の共分散」），3.2.3項（分散の分解）／WB p.15〜16

正解：〔1〕7.00　〔2〕0.50

$P$ が決まってから $Y$ が決まる階層構造＋条件付き分布が二項分布 $\to$ 分散の分解$${\operatorname{V}}[Y]={\operatorname{E}}\bigl[{\operatorname{V}}[Y\mid P]\bigr]+{\operatorname{V}}\bigl[{\operatorname{E}}[Y\mid P]\bigr]$$ を使います．共分散も条件付き期待値を経由します：${\operatorname{Cov}}[P,Y]={\operatorname{Cov}}\bigl[P,{\operatorname{E}}[Y\mid P]\bigr]$．

$\mathrm{Be}(2,2)$ の平均と分散は$${\operatorname{E}}[P]=\frac{2}{2+2}=\frac12,\qquad {\operatorname{V}}[P]=\frac{2\cdot2}{(2+2)^2(2+2+1)}=\frac{4}{80}=\frac1{20},$$$${\operatorname{E}}[P^2]=\frac1{20}+\frac14=\frac3{10}.$$ $P=p$ のもとで ${\operatorname{E}}[Y\mid P]=10P$，${\operatorname{V}}[Y\mid P]=10P(1-P)$．

〔1〕$$\begin{aligned} {\operatorname{E}}\bigl[{\operatorname{V}}[Y\mid P]\bigr]&=10\bigl({\operatorname{E}}[P]-{\operatorname{E}}[P^2]\bigr)=10\Bigl(\frac12-\frac3{10}\Bigr)=2,\\ {\operatorname{V}}\bigl[{\operatorname{E}}[Y\mid P]\bigr]&={\operatorname{V}}[10P]=100\times\frac1{20}=5 . \end{aligned}$$ よって ${\operatorname{V}}[Y]=2+5=\textbf{7.00}$．

〔2〕${\operatorname{E}}[PY]={\operatorname{E}}\bigl[P\,{\operatorname{E}}[Y\mid P]\bigr]={\operatorname{E}}[10P^2]$ なので$${\operatorname{Cov}}[P,Y]={\operatorname{E}}[10P^2]-{\operatorname{E}}[P]\cdot{\operatorname{E}}[10P]=10{\operatorname{V}}[P]=10\times\frac1{20}=\textbf{0.50}.$$

• ${\operatorname{E}}[{\operatorname{V}}[Y\mid P]]$ を $10{\operatorname{E}}[P](1-{\operatorname{E}}[P])=2.5$ とする．$P(1-P)$ は非線形なので ${\operatorname{E}}[P^2]$ を使います．

• 第2項 ${\operatorname{V}}[10P]$ を $10{\operatorname{V}}[P]=0.5$ とする（定数倍は2乗で効く）．

不良率が $1/2$ に固定されていれば ${\operatorname{V}}[Y]=2.5$ です．不良率の変動分 ${\operatorname{V}}[10P]=5$ が上乗せされて ${\operatorname{V}}[Y]=7$ と大きくなるのは自然です（過分散）．

参照参考書 3.2.3項（条件付き分散と分散の分解，例「階層モデル」）／WB p.16

正解：④

個数 $N$ がランダムな和＋$N$ と $X_i$ が独立 $\to$ $N$ を条件にして分散の分解（全分散公式）を使います．$N=n$ のもとでは独立な $n$ 個の和なので$${\operatorname{E}}[S\mid N]=N\mu,\qquad {\operatorname{V}}[S\mid N]=N\sigma^2\qquad(\mu=3,\ \sigma^2=4).$$

$${\operatorname{V}}[S]={\operatorname{E}}\bigl[{\operatorname{V}}[S\mid N]\bigr]+{\operatorname{V}}\bigl[{\operatorname{E}}[S\mid N]\bigr]=\sigma^2{\operatorname{E}}[N]+\mu^2{\operatorname{V}}[N].$$ ポアソン分布なので ${\operatorname{E}}[N]={\operatorname{V}}[N]=20$．$${\operatorname{V}}[S]=4\times20+3^2\times20=80+180=260,\qquad \sqrt{260}=16.12 .$$ 正解は ④．

• $\sqrt{80}=8.94$：第1項 $\sigma^2{\operatorname{E}}[N]$ だけ（来客数の変動を無視）．

• $\sqrt{140}=11.83$：第2項を $\mu^2{\operatorname{V}}[N]$ でなく $\mu{\operatorname{V}}[N]=60$ とした誤り．

• $\sqrt{180}=13.42$：第2項 $\mu^2{\operatorname{V}}[N]$ だけ（購入額の変動を無視）．

• 正しい．

• $\sqrt{3680}=60.66$：${\operatorname{V}}[N\mu]$ を $\mu^2{\operatorname{E}}[N]^2=9\times400$ と，分散と2乗平均を取り違えた誤り．

分散を答えて止まる（$260$ は分散，問われているのは標準偏差）．選択肢に分散の値はありませんが，数値入力では要注意です．

複合ポアソンでは ${\operatorname{V}}[S]={\operatorname{E}}[N]\bigl(\sigma^2+\mu^2\bigr)={\operatorname{E}}[N]\,{\operatorname{E}}[X^2]=20\times13=260$ ときれいにまとまります．第15章の複合ポアソン過程でも同じ式が出てきます．

参照参考書 3.2.3項（条件付き分散と分散の分解）／WB p.16，p.121（複合ポアソン過程）

正解：⑤

1次変換 $Y=aX+b$ で標準化した値は ${\operatorname{sgn}}(a)\cdot(X-\mu)/\sigma$ $\to$ 奇数乗（歪度）は $a$ の符号の影響を受け，偶数乗（尖度）は受けません．歪度・尖度を論じるには3次・4次のモーメントが有限である必要があり，問題文でそれを仮定しています．

• 適切．$\bigl({\operatorname{sgn}}(a)Z\bigr)^3={\operatorname{sgn}}(a)Z^3$ なので，$a<0$ なら歪度は符号が反転します．左右を裏返すと右裾が左裾になるイメージです．

• 適切．${\operatorname{Cov}}[X,-2Y+1]=-2{\operatorname{Cov}}[X,Y]$，$\sqrt{{\operatorname{V}}[-2Y+1]}=2\sqrt{{\operatorname{V}}[Y]}$ なので，相関係数は $-\rho$．

• 適切．チェビシェフの不等式 $P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le1/k^2$ で $k=2$ とすると $1/4$．分散が有限で正でありさえすれば，分布によらず成り立ちます．

• 適切．［付表1］ $z=2.00$ の上側確率 $0.0228$ を2倍して $0.0456$．

• 適切でない．$\bigl({\operatorname{sgn}}(a)Z\bigr)^4=Z^4$ なので，尖度は $a$ の符号によらず不変です．そもそも尖度 $\mu_4/\sigma^4$ は常に正なので，符号が反転することはありえません．

「分散が有限なら歪度・尖度も必ず定義できる」と考える誤り．自由度3の $t$ 分布のように分散は有限でも4次モーメントが無限大の分布があります（参考書 3.1.3項）．

③ と ④ を並べると，チェビシェフの上限 $0.25$ は正規分布の実際の値 $0.046$ よりずっと大きく，「分布を仮定しない代わりに粗い」評価であることが確認できます．

参照参考書 3.1.3項（モーメントの存在），3.3.1項（線形変換で特性値はどう変わるか），3.3.4項（チェビシェフの不等式）／WB p.16〜17

正解：〔1〕11.00　〔2〕0.71

データの特性値＋割る数の指定が2種類 $\to$ 偏差 $x_i-\bar x$ の表を作り，2乗・3乗を並べて足します．不偏分散は $n-1$，標本モーメント $m_r$ は $n$ で割ります．

$\sum x_i=42$ より $\bar x=6$．

〔1〕$s^2=\dfrac{66}{7-1}=\textbf{11.00}$．

〔2〕$m_2=\dfrac{66}{7}=9.4286$，$m_3=\dfrac{144}{7}=20.571$．$$m_2^{3/2}=9.4286\times\sqrt{9.4286}=9.4286\times3.0706=28.951,\qquad b_1=\frac{20.571}{28.951}=0.7106\cdots .$$ よって 0.71．

$m_2$ の代わりに不偏分散 $s^2=11$ を使うと $b_1=20.571/11^{1.5}=0.56$ となり誤りです．問題文の式の分母が何で割ったものかを確認しましょう．

偏差の合計が0になることを必ず確認します（表の右端）．$m_2^{3/2}$ は「$m_2\times\sqrt{m_2}$」と打つと普通電卓で計算できます．12という飛び離れた値が右裾を作っているので，歪度が正になるのは納得できます．

参照参考書 3.4.1項（標本分散・不偏分散），3.4.3項（標本歪度・標本尖度，例「データの特性値一式」）／WB p.17

正解：98.2

グループごとの平均と（$n$ で割った）分散だけが分かっている＋全体の分散 $\to$ データ版の分散の分解（群内＋群間）を使います．$$\text{全体の分散}=\underbrace{\frac{\sum n_g\sigma_g^2}{n}}_{\text{群内}}+\underbrace{\frac{\sum n_g(\bar x_g-\bar x)^2}{n}}_{\text{群間}}.$$

全体平均は $\bar x=\dfrac{20\times60+30\times70}{50}=66$．$$\begin{aligned} \text{群内}&=\frac{20\times8^2+30\times9^2}{50}=\frac{1280+2430}{50}=74.2,\\ \text{群間}&=\frac{20\times(60-66)^2+30\times(70-66)^2}{50}=\frac{720+480}{50}=24.0 . \end{aligned}$$ よって全体の標本分散は $74.2+24.0=\textbf{98.2}$．

• 分散の加重平均 $74.2$ だけを答える．平均点が違うクラスを混ぜると，平均の差の分だけばらつきが増えます．

• 標準偏差の加重平均 $8.6$ を2乗する（$73.96$）．加重平均をとるのは分散（2乗和）です．

各クラスの2乗和 $\sum x^2=n(\sigma^2+\bar x^2)$ を復元しても求められます．A：$20(64+3600)=73280$，B：$30(81+4900)=149430$．全体で $222710$，$\frac{222710}{50}-66^2=4454.2-4356=98.2$．

参照参考書 3.4.5項（グループをまとめたときの平均と分散，例「2グループの合併」）／WB p.17〜18

正解：③

分散共分散行列＋2つの線形結合の相関 $\to$ $(U,W)^\top=A{\boldsymbol{X}}$ と書き，${\operatorname{V}}[A{\boldsymbol{X}}]=A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top$（または共分散の双線形性で一つずつ展開）．

$\sigma_{ij}$ を ${\boldsymbol{\Sigma}}$ の $(i,j)$ 成分とします．$$\begin{aligned} {\operatorname{V}}[U]&=\sigma_{11}+\sigma_{22}+2\sigma_{12}=4+9+2\times3=19,\\ {\operatorname{V}}[W]&=\sigma_{22}+\sigma_{33}-2\sigma_{23}=9+16-2\times4=17,\\ {\operatorname{Cov}}[U,W]&={\operatorname{Cov}}[X_1+X_2,\ X_2-X_3]=\sigma_{12}-\sigma_{13}+\sigma_{22}-\sigma_{23}\\ &=3-(-2)+9-4=10 . \end{aligned}$$ $$\rho_{UW}=\frac{10}{\sqrt{19\times17}}=\frac{10}{\sqrt{323}}=\frac{10}{17.972}=0.5564 .$$ 最も近いのは ③ の $0.56$．行列で書くと $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}$ で，$A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top=\begin{pmatrix}19&10\\10&17\end{pmatrix}$ です．

• $0.33=6/\sqrt{323}$：$-\sigma_{13}=-(-2)=+2$ の符号を誤り，共分散を $3-2+9-4=6$ とした．

• $0.40=10/\sqrt{19\times33}$：${\operatorname{V}}[W]$ で $-2\sigma_{23}$ を $+2\sigma_{23}$ とした．

• 正しい．

• $0.67=10/\sqrt{13\times17}$：${\operatorname{V}}[U]$ で共分散の項 $2\sigma_{12}$ を落とした．

• $0.78=14/\sqrt{323}$：${\operatorname{Cov}}[U,W]$ で $-\sigma_{23}$ の項を落とした．

負の係数と負の共分散が重なるところ（${\operatorname{Cov}}[X_1,-X_3]=-\sigma_{13}=+2$）で符号ミスが起こりやすいので，一項ずつ書き出します．

$A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top$ が対称行列になっていること，対角成分（分散）が正であることを確認します．

参照参考書 3.3.2項（共分散の双線形性），3.5.3項（線形変換の公式 ${\operatorname{V}}[A{\boldsymbol{X}}]=A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top$）／WB p.18

正解：23

2次形式の期待値＋平均と分散共分散行列が既知 $\to$ 公式$${\operatorname{E}}\bigl[{\boldsymbol{X}}^\top A{\boldsymbol{X}}\bigr]={\operatorname{tr}}(A{\boldsymbol{\Sigma}})+{\boldsymbol{\mu}}^\top A{\boldsymbol{\mu}}$$ を使います．$Q$ を対称行列 $A$ で表すとき，交差項 $2x_1x_2$ は非対角成分に半分ずつ（$1$ と $1$）入れます．

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad A{\boldsymbol{\Sigma}}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\4&7\end{pmatrix}.$$ ${\operatorname{tr}}(A{\boldsymbol{\Sigma}})=3+7=10$．$${\boldsymbol{\mu}}^\top A{\boldsymbol{\mu}}=1^2+2\times1\times2+2\times2^2=1+4+8=13 .$$ よって ${\operatorname{E}}[Q]=10+13=\textbf{23}$．

• ${\boldsymbol{\mu}}^\top A{\boldsymbol{\mu}}=13$ だけを答える（${\boldsymbol{X}}$ を平均で置き換える）．$Q$ は非線形なので，ばらつきの分 ${\operatorname{tr}}(A{\boldsymbol{\Sigma}})$ が加わります．

• 交差項を非対角成分に $2$ ずつ入れる（$A$ の非対角を2にすると $Q$ の交差項が $4x_1x_2$ になってしまう）．

成分ごとに計算しても同じです：${\operatorname{E}}[X_1^2]=2+1=3$，${\operatorname{E}}[X_2^2]=3+4=7$，${\operatorname{E}}[X_1X_2]=1+2=3$ より ${\operatorname{E}}[Q]=3+2\times3+2\times7=23$．公式を忘れても「${\operatorname{E}}[X^2]={\operatorname{V}}[X]+\mu^2$」だけで解けます．

参照参考書 3.5.4項（2次形式の期待値）／WB p.18