第2章 確率分布と母関数（統計検定準1級）

$X$ の分布関数が $F(x)=0\ (x<0)$，$F(x)=x^2\ (0\le x<1)$，$F(x)=1\ (x\ge 1)$ で与えられている．$P(0.3<X\le0.6)$，密度関数 $f(x)$，$P(X\le m)=1/2$ となる $m$（中央値）を求めよ．

解 $P(0.3<X\le0.6)=F(0.6)-F(0.3)=0.36-0.09=0.27$．$0<x<1$ で $f(x)=F'(x)=2x$，それ以外で $0$．$m^2=1/2$ より $m=1/\sqrt2\approx0.707$．まず3条件を確認しておくと，$x^2$ は $[0,1]$ で増加，$x=0,1$ でつながっており（連続なので当然右連続），両端で0と1になっています．

ある保険で，1年間に保険金請求がない確率は $0.7$ である．請求がある場合の支払額（万円）は平均10の指数分布に従う．支払額 $X$ の分布関数を求め，$P(X\le5)$ と ${\operatorname{E}}[X]$ を求めよ．

解 $X=0$ となる確率が $0.7$ あり，それ以外は連続的に分布します．$x\ge0$ では，全確率の公式により$$F(x)=P(X\le x)=0.7\times1+0.3\times\bigl(1-e^{-x/10}\bigr),$$ $x<0$ では $F(x)=0$．したがって $F$ は $x=0$ で高さ $0.7$ だけ跳び，その後なめらかに増えます（図2.2）．$$P(X\le5)=0.7+0.3(1-e^{-0.5})\approx0.7+0.3\times0.3935=0.818.$$ 期待値は「請求なし」と「請求あり」に分けて ${\operatorname{E}}[X]=0.7\times0+0.3\times10=3$（万円）．

$X\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$（密度 $\lambda e^{-\lambda x},\ x>0$）なら $S(x)=e^{-\lambda x}$．このとき$$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t).$$ 「$s$ 時間生き延びた」という条件のもとで，さらに $t$ 時間生き延びる確率は，新品が $t$ 時間生き延びる確率と同じです（無記憶性）．生存関数を使うと，このような条件付き確率がすっきり書けます．

部品の寿命 $T$ が平均2年の指数分布に従い，3年経つと故障していなくても交換する．実際の使用期間 $X=\min(T,3)$ の期待値を求めよ．

解 $X\ge0$ で，$x<3$ なら $P(X>x)=P(T>x)=e^{-x/2}$，$x\ge3$ なら $P(X>x)=0$．定理2.3より$${\operatorname{E}}[X]=\int_0^3 e^{-x/2}\,\mathrm{d}x=\Bigl[-2e^{-x/2}\Bigr]_0^3=2(1-e^{-1.5})\approx1.554\ (\text{年}).$$ $X$ は $x=3$ に確率 $P(T>3)=e^{-1.5}\approx0.223$ の跳びをもつ混在型ですが，生存関数を使えば場合分けせずに計算できます．

成功確率 $p$ の試行を成功するまで繰り返すとき，それまでの失敗回数 $X$ の期待値を求めよ．

解 $X\ge k$ は「最初の $k$ 回がすべて失敗」なので $P(X\ge k)=(1-p)^k$．$${\operatorname{E}}[X]=\sum_{k=1}^\infty(1-p)^k=\frac{1-p}{1-(1-p)}=\frac{1-p}{p}.$$ 確率関数 $p(1-p)^k$ に $k$ をかけて足す計算（微分を使う）より，ずっと簡単です．$p=1/4$ なら ${\operatorname{E}}[X]=3$．

$(X,Y)$ の同時確率関数が次の表で与えられている．

周辺分布，$X=0$ のときの $Y$ の条件付き分布を求めよ．

解 周辺分布は行和・列和です（表の余白 margin に書くので「周辺」marginal と呼びます）．$p_X(0)=0.4$，$p_X(1)=0.6$，$p_Y=(0.3,0.5,0.2)$．$X=0$ の行だけを取り出し，行和0.4で割って合計を1にすると$$P(Y=0\mid X=0)=\frac{0.10}{0.40}=0.25,\quad P(Y=1\mid X=0)=\frac{0.20}{0.40}=0.5,$$ 同様に $P(Y=2\mid X=0)=0.25$．

$(X,Y)$ の同時密度を $f(x,y)=x+y\ (0<x<1,\,0<y<1)$ とする．周辺密度，条件付き密度，$P(X+Y\le1)$ を求めよ．

解 周辺密度：$f_X(x)=\int_0^1(x+y)\,\mathrm{d}y=x+\tfrac12\ (0<x<1)$．対称性から $f_Y(y)=y+\tfrac12$．

条件付き密度：$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{x+y}{x+1/2}\ (0<y<1)$．確かに $\int_0^1\frac{x+y}{x+1/2}\,\mathrm{d}y=\frac{x+1/2}{x+1/2}=1$．

確率：$x+y\le1$ となる三角形の上で積分して$$\begin{aligned} P(X+Y\le1)&=\int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(x+y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int_0^1\Bigl\{x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{2}\Bigr\}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1\frac{1-x^2}{2}\,\mathrm{d}x=\frac13 . \end{aligned}$$

次の同時密度をもつ $(X,Y)$ は独立か．(a) $f(x,y)=6e^{-2x-3y}\ (x>0,y>0)$ (b) $f(x,y)=x+y\ (0<x,y<1)$ (c) $f(x,y)=8xy\ (0<x<y<1)$

解 (a) $6e^{-2x-3y}=(2e^{-2x})(3e^{-3y})$ で定義域も直積 $(0,\infty)^2$．独立で，$X\sim\mathrm{Ex}(2)$，$Y\sim\mathrm{Ex}(3)$．

(b) $x+y$ は積に分解できない．実際 $f_X(x)f_Y(y)=(x+\frac12)(y+\frac12)\neq x+y$．独立でない．

(c) 式は $8xy$ と積の形だが，定義域 $0<x<y<1$ が直積でない．独立でない．

(a) $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$，(b) $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$ の確率母関数を求め，平均と分散を導け．

解 (a) 二項定理より$$G(s)=\sum_{k=0}^n\binom nk p^k(1-p)^{n-k}s^k=\sum_{k=0}^n\binom nk (ps)^k(1-p)^{n-k}=(1-p+ps)^n .$$ $G'(s)=np(1-p+ps)^{n-1}$，$G''(s)=n(n-1)p^2(1-p+ps)^{n-2}$ より $G'(1)=np$，$G''(1)=n(n-1)p^2$．${\operatorname{V}}[X]=n(n-1)p^2+np-n^2p^2=np-np^2=np(1-p)$．

(b) 指数関数のテイラー展開 $e^u=\sum u^k/k!$ を使って$$G(s)=\sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}s^k=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(\lambda s)^k}{k!}=e^{-\lambda}e^{\lambda s}=e^{\lambda(s-1)}.$$ $G'(1)=\lambda$，$G''(1)=\lambda^2$ より ${\operatorname{E}}[X]=\lambda$，${\operatorname{V}}[X]=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$．

$X\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$ の積率母関数を求め，${\operatorname{E}}[X]$，${\operatorname{V}}[X]$ を導け．

解 $t<\lambda$ のとき$$M(t)=\int_0^\infty e^{tx}\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x=\lambda\int_0^\infty e^{-(\lambda-t)x}\,\mathrm{d}x=\frac{\lambda}{\lambda-t}.$$ （$t\ge\lambda$ では積分が発散するが，$0$ の近く $(-\lambda,\lambda)$ で有限なので積率母関数は存在する．）$M(t)=\lambda(\lambda-t)^{-1}$ を微分して$$M'(t)=\lambda(\lambda-t)^{-2},\qquad M''(t)=2\lambda(\lambda-t)^{-3}.$$ ${\operatorname{E}}[X]=M'(0)=1/\lambda$，${\operatorname{E}}[X^2]=M''(0)=2/\lambda^2$，${\operatorname{V}}[X]=2/\lambda^2-1/\lambda^2=1/\lambda^2$．

同様にガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$（密度 $\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x}$）では $M(t)=\bigl(\frac{\beta}{\beta-t}\bigr)^\alpha$ となります（第6章）．

$Z\sim\mathrm{N}(0,1)$ の積率母関数を求めよ．また $X=\mu+\sigma Z\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ の積率母関数を求めよ．

解 指数部分をまとめて平方完成します：$tz-\frac{z^2}{2}=-\frac{(z-t)^2}{2}+\frac{t^2}{2}$．よって$$M_Z(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{tz}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\,\mathrm{d}z =e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(z-t)^2/2}\,\mathrm{d}z=e^{t^2/2}.$$ 最後の積分は $\mathrm{N}(t,1)$ の密度の全積分なので1です．次に$$M_X(t)={\operatorname{E}}[e^{t(\mu+\sigma Z)}]=e^{\mu t}\,{\operatorname{E}}[e^{(\sigma t)Z}]=e^{\mu t}M_Z(\sigma t)=\exp\Bigl(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\Bigr).$$

(a) $X\sim\mathrm{Po}(\lambda_1)$，$Y\sim\mathrm{Po}(\lambda_2)$ が独立なら $X+Y\sim\mathrm{Po}(\lambda_1+\lambda_2)$ を示せ．(b) $X\sim\mathrm{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim\mathrm{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ が独立なら $X+Y\sim\mathrm{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ を示せ．

解 (a) $G_{X+Y}(s)=e^{\lambda_1(s-1)}e^{\lambda_2(s-1)}=e^{(\lambda_1+\lambda_2)(s-1)}$．これは $\mathrm{Po}(\lambda_1+\lambda_2)$ の確率母関数なので，一意性定理より $X+Y\sim\mathrm{Po}(\lambda_1+\lambda_2)$．

(b) $M_{X+Y}(t)=e^{\mu_1t+\sigma_1^2t^2/2}e^{\mu_2t+\sigma_2^2t^2/2}=\exp\bigl\{(\mu_1+\mu_2)t+(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2/2\bigr\}$．これは $\mathrm{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ の積率母関数．

$X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$ のキュムラントをすべて求め，歪度 $\kappa_3/\kappa_2^{3/2}$ を求めよ．また $n$ 個の i.i.d. の和の歪度はどうなるか．

解 $M(t)=G(e^t)=e^{\lambda(e^t-1)}$ なので $K(t)=\lambda(e^t-1)=\lambda\bigl(t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots\bigr)$．よってすべてのキュムラントが $\lambda$．歪度は $\lambda/\lambda^{3/2}=1/\sqrt\lambda$．

一般に i.i.d. の和 $S_n$ では $\kappa_r(S_n)=n\kappa_r$ なので，歪度は$\dfrac{n\kappa_3}{(n\kappa_2)^{3/2}}=\dfrac{1}{\sqrt n}\cdot\dfrac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}}$ と $1/\sqrt n$ の速さで0に近づきます．和をとるほど分布が左右対称（正規分布）に近づく ── 中心極限定理の姿がここに見えています．