第2章 確率分布と母関数の練習問題（統計検定準1級）

正解：①

「分布関数になり得るか」の判定 $\to$ 次の3条件を1つずつ機械的にチェックします．

• 単調非減少：$x<y$ なら $F(x)\le F(y)$．

• 右連続：$\lim_{h\downarrow0}F(x+h)=F(x)$．

• 両端の極限：$F(-\infty)=0$，$F(\infty)=1$．

• 正しい．$\arctan x$ は増加関数で連続，$x\to-\infty$ で $-\pi/2$，$x\to\infty$ で $\pi/2$ なので，$F(-\infty)=\frac12-\frac12=0$，$F(\infty)=\frac12+\frac12=1$．3条件をすべて満たします．これはコーシー分布の分布関数です（密度 $F'(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$）．

• 誤り．$x\to\infty$ で $F(x)\to0.8\ne1$．(c) に反します．残りの確率 $0.2$ がどこにもない状態です．

• 誤り．$F(0)=0$，$F(\infty)=1$ で連続ですが，微分すると$$F'(x)=-\bigl\{-e^{-x}-(1-x)e^{-x}\bigr\}=(2-x)e^{-x}$$ となり，$x>2$ で負になります．減少する区間があるので (a) に反します（「密度」が負になってしまう）．

• 誤り．$x\to-\infty$ で $F(x)\to1$ となり (c) に反します．また $x<0$ で減少しているので (a) にも反します．

• 誤り．$x=0$ で $F(0)=0$ ですが，右から近づくと $0.5$ です．$\lim_{h\downarrow0}F(h)=0.5\ne F(0)$ なので (b) の右連続性に反します．$x=1$ でも同様です．跳びのある点では「跳んだ後の値」をとるのが分布関数です（$F(0)=0.5$，$F(1)=1$ と定義すれば正しい分布関数になる）．

「連続で $0$ から $1$ まで上がる」だけで ③ を選ぶ誤り．途中で下がる関数を見落としやすいので，微分して符号を見ます．逆に，跳びがあっても右連続なら分布関数として問題ありません．

連続な候補は $F'(x)$ を計算し，それが非負で全積分1の「密度」になっているかを見れば (a)(c) を同時に確認できます．

参照参考書 2.1.2項（累積分布関数の3つの性質）／WB p.7

正解：〔1〕0.75　〔2〕1.375

分布関数に跳びと傾きの部分がある（混在型）＋$\le$ と $<$ が混ざった確率 $\to$ 跳びの高さ $F(a)-F(a-)=P(X=a)$ を拾い，連続部分と離散部分に分けて扱います．

各点での跳びは$$P(X=1)=F(1)-F(1-)=\frac12-\frac14=\frac14,\qquad P(X=2)=F(2)-F(2-)=1-\frac12=\frac12 .$$ 連続部分は $0\le x<1$ で密度 $F'(x)=1/4$（合計確率 $1/4$）．

〔1〕$x=1$ の跳びも含めるので$$P(1\le X\le2)=F(2)-F(1-)=1-\frac14=0.75 .$$

〔2〕連続部分と離散部分に分けて足します．$${\operatorname{E}}[X]=\int_0^1 x\cdot\frac14\,\mathrm{d}x+1\times\frac14+2\times\frac12=\frac18+\frac14+1=1.375 .$$

$F(2)-F(1)=1-\frac12=0.5$ としてしまうと $P(1<X\le2)$ を求めたことになり，$x=1$ の跳び $1/4$ が抜けます．

確率の合計 $\frac14+\frac14+\frac12=1$ を確認．期待値は，$X\ge0$ なので生存関数の積分でも求められます．$$\int_0^1\Bigl(1-\frac x4\Bigr)\,\mathrm{d}x+\int_1^2\Bigl(1-\frac12\Bigr)\,\mathrm{d}x=\frac78+\frac12=1.375 .$$ 跳びを気にせず「グラフの上側の面積」を測るだけなので，混在型ではこちらのほうが楽なことが多いです．

参照参考書 2.1.4項（離散と連続が混ざった分布），2.1.6項（生存関数で期待値を求める）／WB p.7

正解：〔1〕1.46　〔2〕0.51

上限2で打ち切った非負の量 $X=\min(T,2)$（$X=2$ に確率の塊をもつ混在型）$\to$ $X\ge0$ なので生存関数による期待値の公式 ${\operatorname{E}}[X]=\int_0^\infty P(X>x)\,\mathrm{d}x$ を使うと場合分けが不要です．

$T$ は平均3の指数分布なので $P(T>x)=e^{-x/3}$．$X=\min(T,2)$ について$$P(X>x)=\begin{cases}P(T>x)=e^{-x/3} & (0\le x<2)\\ 0 & (x\ge2)\end{cases}$$ （$X$ は2を超えないので，$x\ge2$ では $P(X>x)=0$．）与えられた値から $e^{-2/3}=(e^{-1/3})^2=0.7165^2=0.51337$ です．

〔1〕$${\operatorname{E}}[X]=\int_0^2 e^{-x/3}\,\mathrm{d}x=\Bigl[-3e^{-x/3}\Bigr]_0^2=3\bigl(1-e^{-2/3}\bigr)=3(1-0.51337)=1.4599 .$$ よって 1.46．

〔2〕$P(X=2)=P(T\ge2)=e^{-2/3}=0.5134\ \to$ 0.51．

• ${\operatorname{E}}[\min(T,2)]=\min({\operatorname{E}}[T],2)=2$ とする誤り．$\min$ は線形でないので期待値の中から出せません．

• 平均3を率と取り違えて $P(T>x)=e^{-3x}$ とする（平均 $\theta$ の指数分布の生存関数は $e^{-x/\theta}$）．

場合分けで確かめると，${\operatorname{E}}[X]=\int_0^2 t\cdot\frac13e^{-t/3}\,\mathrm{d}t+2\,P(T>2)$．部分積分で第1項は $-2e^{-2/3}+3(1-e^{-2/3})$，第2項 $2e^{-2/3}$ と足すと $3(1-e^{-2/3})$ で一致します．また $0<{\operatorname{E}}[X]<\min({\operatorname{E}}[T],2)=2$ の範囲に入っています．

参照参考書 2.1.6項（生存関数で期待値を求める，例「打ち切りのある量の期待値」）／WB p.7

正解：4.96

独立な試行の最大値＋非負整数値 $\to$ 「最大値が $k$ 以下」＝「全部が $k$ 以下」で独立性が使えます：$P(M\le k)=(k/6)^3$．そのうえで離散型の公式 ${\operatorname{E}}[M]=\sum_{k\ge1}P(M\ge k)$ を使います．

$P(M\ge k)=1-P(M\le k-1)=1-\bigl(\frac{k-1}{6}\bigr)^3$（$k=1,\dots,6$）．$$\begin{aligned} {\operatorname{E}}[M]&=\sum_{k=1}^{6}\Bigl\{1-\Bigl(\frac{k-1}{6}\Bigr)^3\Bigr\}=6-\frac{0^3+1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}{216}\\ &=6-\frac{225}{216}=4.9583\cdots . \end{aligned}$$ よって 4.96．

$P(M\ge k)$ を $1-(k/6)^3$ とする（$M\le k$ と $M\le k-1$ の取り違え）．この場合 $6-441/216=3.96$ になります．

確率関数 $P(M=k)=\bigl(\frac k6\bigr)^3-\bigl(\frac{k-1}6\bigr)^3$ から$${\operatorname{E}}[M]=\frac{1\cdot1+2\cdot7+3\cdot19+4\cdot37+5\cdot61+6\cdot91}{216}=\frac{1071}{216}=4.958$$ で一致します．1回の平均3.5より大きく6より小さいことも確認できます．

参照参考書 2.1.6項（生存関数で期待値を求める，離散型の公式）／WB p.7

正解：〔1〕0.36　〔2〕1.17

同時確率の表 $\to$ 周辺確率は行和・列和，条件付き確率は「条件の行（列）だけを取り出して，その合計で割る」．

まず行和と列和を書き込みます．

〔1〕$P(Y\ge1)=0.40+0.30=0.70$，$P(X=2,\,Y\ge1)=0.15+0.10=0.25$．$$P(X=2\mid Y\ge1)=\frac{0.25}{0.70}=0.3571\cdots\ \to\ \textbf{0.36}.$$ 〔2〕$X=2$ の行を取り出し，行和 $0.30$ で割ると条件付き分布は$$P(Y=0\mid X=2)=\frac{0.05}{0.30}=\frac16,\quad P(Y=1\mid X=2)=\frac{0.15}{0.30}=\frac12,$$$$P(Y=2\mid X=2)=\frac{0.10}{0.30}=\frac13 .$$ $${\operatorname{E}}[Y\mid X=2]=0\cdot\frac16+1\cdot\frac12+2\cdot\frac13=\frac76=1.1666\cdots\ \to\ \textbf{1.17}.$$

〔1〕で分母を $P(X=2)=0.30$ にすると $0.25/0.30=0.83$ となり，$P(Y\ge1\mid X=2)$ という逆向きの条件付き確率を求めたことになります．「$\mid$ の右側が分母」です．

表の合計が1，条件付き分布の合計 $\frac16+\frac12+\frac13=1$ を確認．条件付き期待値は $Y$ のとりうる範囲 $[0,2]$ に入ります．

参照参考書 2.2.2項（周辺分布），2.2.3項（条件付き分布，例「同時確率の表と周辺分布」）／WB p.7〜8

正解：〔1〕3　〔2〕0.375　〔3〕0.78

三角形上の同時密度 $\to$ まず定義域の図を描き，積分範囲をすべて図から読み取ります．条件付き期待値は「切り口を取り出して正規化」した条件付き密度で計算します．

〔1〕$x$ を固定すると $y$ は $0$ から $x$ まで動くので$$\int_0^1\!\!\int_0^x c\,x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=c\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\frac c3=1\quad\Longrightarrow\quad c=\textbf{3}.$$ 〔2〕三角形のうち $x+y<1$ の部分は，$0<y<\min(x,1-x)$ です．$x=1/2$ で場合分けします．$$\begin{aligned} P(X+Y<1)&=\int_0^{1/2}\!\!\int_0^{x}3x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_0^{1-x}3x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^{1/2}3x^2\,\mathrm{d}x+\int_{1/2}^{1}3x(1-x)\,\mathrm{d}x\\ &=\Bigl[x^3\Bigr]_0^{1/2}+\Bigl[\tfrac32x^2-x^3\Bigr]_{1/2}^{1}=\frac18+\Bigl(\frac12-\frac14\Bigr)=\frac18+\frac14=0.375 . \end{aligned}$$ よって 0.375．

〔3〕$Y=y$ を固定すると $x$ は $y<x<1$ を動きます．$Y$ の周辺密度は$$f_Y(y)=\int_y^1 3x\,\mathrm{d}x=\frac32(1-y^2)\qquad(0<y<1).$$ 条件付き密度は $f(x\mid y)=\dfrac{3x}{\frac32(1-y^2)}=\dfrac{2x}{1-y^2}\ (y<x<1)$．$y=1/2$ のとき $f(x\mid\tfrac12)=\dfrac{8x}{3}\ (1/2<x<1)$．$${\operatorname{E}}\Bigl[X\Bigm| Y=\tfrac12\Bigr]=\int_{1/2}^1x\cdot\frac{8x}{3}\,\mathrm{d}x=\frac83\cdot\frac{1-1/8}{3}=\frac79=0.777\cdots .$$ よって 0.78．

〔3〕で積分範囲を $0<x<1$ にしてしまう誤り．$Y=1/2$ のとき，定義域の条件 $y<x$ から $x>1/2$ しかとれません．

$\int_{1/2}^1\frac{8x}{3}\,\mathrm{d}x=1$ を確認．切り口 $3x$ は右上がりなので，条件付き平均は区間 $(1/2,1)$ の中点 $0.75$ より少し右になるはずで，$0.78$ は整合的です．答えが区間 $(1/2,1)$ の外に出たら計算ミスです．

参照参考書 2.2.2項（周辺分布），2.2.3項（条件付き分布）／WB p.7〜8

正解：①

連続型で $X,Y$ が独立 $\iff$ 同時密度が $g(x)h(y)$ と因数分解でき，しかも定義域が直積（長方形）．式の形と定義域の2段階でチェックします．

• 正しい．$4xy=(2x)(2y)$ で，定義域 $(0,1)\times(0,1)$ は長方形．周辺密度はそれぞれ $2x$，$2y$ で，積が同時密度に一致します．

• 誤り．式は $8xy$ と因数分解できますが，定義域 $0<y<x<1$ は三角形です．実際 $f_X(x)=4x^3$，$f_Y(y)=4y(1-y^2)$ で，積は $8xy$ になりません．

• 誤り．$x+y$ は $g(x)h(y)$ の形に分解できません．$f_X(x)=x+\frac12$，$f_Y(y)=y+\frac12$ の積は $x+y$ と異なります．

• 誤り．$2e^{-x}e^{-y}$ と積の形ですが，定義域 $0<y<x$ が直積でないので独立ではありません（② と同じ落とし穴）．

• 誤り．単位円板上の一様分布です．$X$ が $1$ に近いと $Y$ は $0$ の近くしかとれず，独立ではありません（ただし相関係数は $0$）．

②④ のように式だけ見て「積の形だから独立」と判定する誤り．定義域の条件を指示関数 $\mathbb{1}(0<y<x)$ で書くと，積に分かれないことが分かります．

独立でないことを示すには，$f(x,y)=0$ なのに $f_X(x)f_Y(y)>0$ となる点（例：② で $(x,y)=(0.2,0.5)$）を1つ挙げれば十分です．

参照参考書 2.2.4項（独立性とその判定，例「独立性の判定」）／WB p.8

正解：〔1〕0.135　〔2〕2.50

確率母関数が積の形 $\to$ 独立な和に分解できます．$e^{2(s-1)}$ は $\mathrm{Po}(2)$，$\bigl(\frac{1+s}{2}\bigr)^2=(\frac12+\frac12s)^2$ は $\mathrm{Bin}(2,\frac12)$ の確率母関数なので，$X=U+V$（$U\sim\mathrm{Po}(2)$，$V\sim\mathrm{Bin}(2,\frac12)$，独立）と見なせます．

〔1〕$X=1$ となるのは $(U,V)=(1,0)$ または $(0,1)$ のとき．$$\begin{aligned} P(X=1)&=P(U=1)P(V=0)+P(U=0)P(V=1)\\ &=2e^{-2}\times\frac14+e^{-2}\times\frac12=e^{-2}\Bigl(\frac12+\frac12\Bigr)=e^{-2}. \end{aligned}$$ 与えられた値から $e^{-2}=(e^{-1})^2=0.3679^2=0.13535$．よって 0.135．

〔2〕独立なので分散は足し算です．$${\operatorname{V}}[X]={\operatorname{V}}[U]+{\operatorname{V}}[V]=2+2\times\frac12\times\frac12=2+0.5=\textbf{2.50}.$$

• 母関数の2階微分 $G''(1)$ を ${\operatorname{E}}[X^2]$ と思い込む．$G''(1)$ は階乗モーメント ${\operatorname{E}}[X(X-1)]$ で，分散は $G''(1)+G'(1)-\{G'(1)\}^2$．

• 確率を取り出すのに $s=1$ を代入する（確率は $s=0$，モーメントは $s=1$）．

母関数を直接微分しても確認できます．$P(X=1)=G'(0)$ で，$G'(s)=\frac14e^{2(s-1)}\{2(1+s)^2+2(1+s)\}$ より $G'(0)=\frac14e^{-2}(2+2)=e^{-2}$．分散は $\log G(s)=2(s-1)+2\log(1+s)-2\log2$ を使うと，$(\log G)'(1)=2+1=3={\operatorname{E}}[X]$，$(\log G)''(1)=-\frac{2}{(1+s)^2}\big|_{s=1}=-\frac12$ で，${\operatorname{V}}[X]=(\log G)''(1)+(\log G)'(1)=2.5$．

参照参考書 2.3.2項（確率母関数），2.3.5項（独立な確率変数の和）／WB p.9〜10

正解：〔1〕①　〔2〕18.31

積率母関数が与えられている＋分布の特定 $\to$ 一意性定理により，見覚えのある形に当てはめます．形状母数 $\alpha$，尺度母数 $\beta$ のガンマ分布の積率母関数は $(1-\beta t)^{-\alpha}$，自由度 $k$ のカイ二乗分布は $\mathrm{Ga}(k/2,\,\text{尺度}2)$ なので $(1-2t)^{-k/2}$ です．

〔1〕$(1-2t)^{-5}$ は $\alpha=5$，$\beta=2$ のガンマ分布．$k/2=5$ より自由度 $k=10$ のカイ二乗分布でもあります．正解は ①．

• 尺度 $1/2$ なら $(1-t/2)^{-5}$ で，形が違います（尺度と率 $\lambda=1/\beta$ の取り違え）．

• 自由度5のカイ二乗分布は $(1-2t)^{-5/2}$．指数の「$k/2$」を忘れた誤りです．

• 平均2の指数分布は $(1-2t)^{-1}$ なので，5個の和なら $(1-2t)^{-5}$ ですが，平均$\bar X=S/5$ は $M_S(t/5)=(1-\frac{2t}{5})^{-5}$ になります．

• 平均 $\alpha\beta=10$，分散 $\alpha\beta^2=20$ は合っていますが，正規分布の積率母関数は $e^{10t+10t^2}$ で別物です．

〔2〕$X\sim\chi^2(10)$ なので $a$ は自由度10の上側5%点．［付表3］ 自由度10，$\alpha=0.05$ の欄より $\chi^2_{0.05}(10)=18.307$．よって 18.31．

• 〔1〕で率と尺度を取り違える（②），自由度の半分を忘れる（③）．

• 〔2〕で下側5%点 $\chi^2_{0.95}(10)=3.940$ を読む．$P(X\ge a)=0.05$ は上側です．

平均 $k=10$，分散 $2k=20$ が $\alpha\beta=5\times2$，$\alpha\beta^2=20$ と一致します．上側5%点は平均10より十分右にあるはずです．

参照参考書 2.3.3項（積率母関数，例「指数分布とガンマ分布の積率母関数」），2.3.4項（母関数で分布が決まる）／WB p.9〜10, p.41, p.45

正解：〔1〕②　〔2〕3.67

独立な和の高次の特性値 $\to$ キュムラント母関数 $K(t)=\log M(t)$ は独立な和で足し算になるので，$\kappa_r(S)=9\,\kappa_r(X_1)$．あとは$$\text{歪度}=\frac{\kappa_3}{\kappa_2^{3/2}},\qquad \text{尖度}\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}=3+\frac{\kappa_4}{\kappa_2^{2}}$$ を使います（$\kappa_4=\mu_4-3\mu_2^2$ より）．指数分布はすべての次数のモーメントが有限なので，歪度・尖度は定義できます．

$K(t)=-\log(1-t)=t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^4}{4}+\cdots$．$\kappa_r=K^{(r)}(0)=r!\times\frac1r=(r-1)!$ なので$$\kappa_2=1,\quad\kappa_3=2,\quad\kappa_4=6 .$$ $S$ については $\kappa_2(S)=9$，$\kappa_3(S)=18$，$\kappa_4(S)=54$．

〔1〕歪度 $=\dfrac{18}{9^{3/2}}=\dfrac{18}{27}=0.667$．最も近いのは ② の $0.67$．

〔2〕$\beta_2=3+\dfrac{54}{9^2}=3+\dfrac{54}{81}=3.6666\cdots\ \to$ 3.67．

• $0.22=2/9$：歪度も分散の逆数と同じく「$1/n$ 倍」になると考えた誤り．正しくは $2/\sqrt9$ で，$1/\sqrt n$ 倍です．

• 正しい．$2/\sqrt9=0.667$．

• $0.94=\sqrt{8/9}$：$S$ を自由度9のカイ二乗分布と取り違え，$\chi^2(k)$ の歪度 $\sqrt{8/k}$ を使った誤り．$S\sim\mathrm{Ga}(9,1)$ で，$\chi^2(k)=\mathrm{Ga}(k/2,\text{尺度}2)$ とは別物です．

• $1.00$：分母を $\sigma^3$ ではなく $\sigma^2$ にした $18/18$．

• $2.00$：$\mathrm{Ex}(1)$ 1個の歪度のまま．和をとると歪度は小さくなります．

〔2〕で超過尖度 $\kappa_4/\kappa_2^2=0.67$ を答える誤り．問題文の $\beta_2={\operatorname{E}}[(S-\mu)^4]/\sigma^4$ は3を引かない定義です．

$S\sim\mathrm{Ga}(9,1)$ なので，ガンマ分布の歪度 $2/\sqrt\alpha$，尖度 $3+6/\alpha$ に $\alpha=9$ を入れても同じ答えです．歪度 $2/\sqrt n$，超過尖度 $6/n$ が $n$ とともに0に近づくのは，中心極限定理（第7章）で和が正規分布に近づくことの表れです．

参照参考書 2.3.7項（キュムラント母関数），3.1.4項（歪度と尖度）／WB p.9〜10, p.13〜14