第22章 主成分分析（統計検定準1級）

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『統計学実践ワークブック』第22章に対応する章です。本文と問題は有料版で読めます。

この章で身につけること

• 主成分分析を「重心を原点にした座標軸の回転」として図で説明できる．

• 線形結合 $\bm a^\top\boldsymbol{x}$ の分散が $\bm a^\top S\bm a$ となることを導ける．

• ラグランジュ未定乗数法で，分散最大化が固有値問題 $S\bm a=\lambda\bm a$ になり，最大値が最大固有値になることを導出できる．

• 第2主成分の導出で，直交条件の乗数が0になる理由を説明できる．

• $2\times2$ 行列の固有値・固有ベクトルを手計算で求め，$\operatorname{tr}$ と $\det$ で検算できる．

• スペクトル分解 $S=H\Lambda H^\top$ と全分散の保存 $\sum\lambda_k=\operatorname{tr}S$ を説明できる．

• 寄与率・累積寄与率を計算し，累積寄与率・カイザー基準・スクリープロットで主成分数を決められる．

• 主成分得点（平均を引く）と主成分負荷量 $\sqrt{\lambda_k}h_{jk}/\sqrt{s_{jj}}$ を計算できる．

• 共分散行列と相関行列の使い分けと，単位変更の影響を説明できる．

• 特異値と固有値の関係 $\lambda_k=d_k^2/(n-1)$，主成分分析と再構成誤差最小化・線形自己符号化器の関係を説明できる．

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この章の節

• 22.1 主成分分析とは ── 散布図の軸を回す
• 22.2 データ行列・分散共分散行列・相関行列
• 22.3 主成分の導出 ── 分散最大化と固有値問題
• 22.4 寄与率・主成分得点・主成分負荷量
• 22.5 分散共分散行列か相関行列か
• 22.6 特異値分解と主成分分析 ◇
• 22.7 自己符号化器との関係 ◇
• 22.8 例題に取り組むための考え方

この章の解説と問題は、アプリ「統計検定準1級 合格ナビ」の有料版（1,980円・買い切り）で読めます。第1〜3章は無料で全文を公開しています。