第6章 連続型分布と標本分布（統計検定準1級）

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『統計学実践ワークブック』第6章に対応する章です。本文と問題は有料版で読めます。

この章で身につけること

• 一様・正規・指数・ガンマ・ベータ・コーシー・対数正規の密度を書き，形をグラフで描ける．

• ガンマ関数・ベータ関数の性質（$\Gamma(n)=(n-1)!$，$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$，$B=\Gamma\Gamma/\Gamma$）を使って積分を計算できる．

• 「密度の積分は1」を使って，ガンマ・ベータ分布の $\operatorname{E}[X^k]$ を数行で導ける．

• 正規分布の積率母関数を平方完成で導き，対数正規分布の期待値・分散に応用できる．

• 指数分布の無記憶性とハザード一定を説明でき，指数の和 $\to$ ガンマ，ガンマとポアソンの関係を使える．

• 2変量正規分布の条件付き分布を平方完成で導き，回帰直線・平均への回帰と結びつけて説明できる．

• 多変量正規分布の条件付き分布の公式 $\boldsymbol{\mu}_1+\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{\mu}_2)$，$\boldsymbol{\Sigma}_{11}-\boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}$ を使える．

• 混合正規分布の平均・分散を分散の分解で求められ，「確率変数の和」と区別できる．

• カイ二乗・$t$・$F$ 分布の定義（正規からの組み立て方）と期待値・分散を言える．

• 正規標本で $\bar X$ と $s^2$ が独立，$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$ となる理由を説明できる．

• 非心分布が「対立仮説のもとでの検定統計量の分布」であり，非心度が大きいほど検出力が上がることを説明できる．

• 分布の関係図を自分で描ける．

参考書で詳しく読む

この章の節

• 6.1 連続一様分布
• 6.2 正規分布
• 6.3 数学の補足：ガンマ関数とベータ関数
• 6.4 指数分布
• 6.5 ガンマ分布
• 6.6 ベータ分布
• 6.7 コーシー分布 ◇
• 6.8 対数正規分布 ◇
• 6.9 2変量正規分布
• 6.10 多変量正規分布
• 6.11 混合正規分布 ◇
• 6.12 カイ二乗分布
• 6.13 正規標本の標本平均と標本分散
• 6.14 t 分布
• 6.15 F 分布と非心分布
• 6.16 分布の関係図 ◇
• 6.17 例題に取り組むための考え方

この章の解説と問題は、アプリ「統計検定準1級 合格ナビ」の有料版（1,980円・買い切り）で読めます。第1〜3章は無料で全文を公開しています。