統計検定準1級 分布・公式一覧

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付録

この付録は，本文で学んだ内容を「試験直前に見返す」「問題を解いていて公式を確認したい」ときのための資料集です．新しい内容は含まず，本文（各章）で導出・解説した結果を一覧の形に整理しています．導出や使い方の注意は，各項目に示した章に戻って確認してください．

記法の約束

本書・ワークブック共通の記法として，上側 $100\alpha\%$ 点を $z_\alpha$，$t_\alpha(m)$，$\chi^2_\alpha(k)$，$F_\alpha(m,n)$ と書きます（$P(Z>z_\alpha)=\alpha$ など）．ガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha,\lambda)$ は形状 $\alpha$，率 $\lambda$（密度に $e^{-\lambda x}$）の流儀，指数分布 $\mathrm{Ex}(\lambda)$ も率 $\lambda$（平均 $1/\lambda$）の流儀です．尺度 $\theta=1/\lambda$ で $\mathrm{Ga}(\alpha,\theta)$（平均 $\alpha\theta$）と書く本もあるので，問題文では密度の式で確認してください．幾何分布・負の二項分布は「成功までの失敗回数」で定義し，「試行回数」版を併記しています．$\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ の第2引数は分散です．$q=1-p$ と書くことがあります．不偏分散は $s^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$ です．

A　主要な確率分布一覧

各表の「母関数」の行は，特に断らない限り積率母関数 $M_X(t)={\operatorname{E}}[e^{tX}]$ です．離散型では確率母関数 $G_X(s)={\operatorname{E}}[s^X]$ も併記しました（$M_X(t)=G_X(e^t)$ の関係があります）．「再生性」は，独立な同じ族の確率変数の和が同じ族に入る性質です（第5章・第6章）．

A.1　離散型分布（WB第5章）

離散一様分布$\{1,2,\dots,N\}$ 上の一様分布
確率関数 $P(X=x)=\dfrac1N$
台・母数 $x=1,2,\dots,N$；$N$ は正の整数
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac{N+1}{2}$，${\operatorname{V}}[X]=\dfrac{N^2-1}{12}$
母関数 $M_X(t)=\dfrac{e^t(e^{Nt}-1)}{N(e^t-1)}$ ($t\ne0$)，$G_X(s)=\dfrac{s(1-s^N)}{N(1-s)}$
再生性 なし（2個のさいころの和は三角形の分布になる）
主な関係 公正なさいころは $N=6$（${\operatorname{E}}=3.5$，${\operatorname{V}}=35/12$）．$\{0,1\}$ 上の一様分布はベルヌーイ分布 $p=\frac12$．$N\to\infty$ で $X/N$ は $\mathrm{U}(0,1)$ に近づく
ベルヌーイ分布$\mathrm{Bernoulli}(p)$
確率関数 $P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}$
台・母数 $x=0,1$；$0\le p\le1$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=p$，${\operatorname{V}}[X]=p(1-p)=pq$
母関数 $M_X(t)=q+pe^t$，$G_X(s)=q+ps$
再生性 なし（ただし独立な $n$ 個の和は $\mathrm{Bin}(n,p)$）
主な関係 指示変数 $\mathbb{1}_A$ そのもので ${\operatorname{E}}[\mathbb{1}_A]=P(A)$．$X^2=X$ なので ${\operatorname{E}}[X^2]=p$
二項分布$\mathrm{Bin}(n,p)$
確率関数 $P(X=x)=\dbinom nx p^x(1-p)^{n-x}$
台・母数 $x=0,1,\dots,n$；$n$ は正の整数，$0\le p\le1$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=np$，${\operatorname{V}}[X]=np(1-p)$．最頻値（$0<p<1$）：$(n+1)p$ が整数でなければ $\lfloor(n+1)p\rfloor$，整数 $m$ なら $m-1$ と $m$ の2つ
母関数 $M_X(t)=(q+pe^t)^n$，$G_X(s)=(q+ps)^n$
再生性 $\mathrm{Bin}(n_1,p)+\mathrm{Bin}(n_2,p)=\mathrm{Bin}(n_1+n_2,p)$（$p$ が共通のとき）
主な関係 ベルヌーイ $n$ 個の和．$n\to\infty$，$np=\lambda$ 一定で $\mathrm{Po}(\lambda)$（少数法則）．$np(1-p)$ が大きければ $\mathrm{N}(np,np(1-p))$ で近似（連続修正 $\pm0.5$）．多項分布の周辺分布
超幾何分布全 $N$ 個（うち当たり $M$ 個）から $n$ 個を非復元抽出
確率関数 $P(X=x)=\dfrac{\dbinom Mx\dbinom{N-M}{n-x}}{\dbinom Nn}$
台・母数 $\max(0,\,n-N+M)\le x\le\min(n,M)$
期待値・分散 $p=M/N$ として ${\operatorname{E}}[X]=np$，${\operatorname{V}}[X]=np(1-p)\cdot\dfrac{N-n}{N-1}$
母関数 簡単な閉じた形はない
再生性 なし
主な関係 $\frac{N-n}{N-1}$ は有限母集団修正（$n=N$ で分散0）．$M/N=p$ を保って $N\to\infty$ とすると $\mathrm{Bin}(n,p)$．フィッシャーの正確検定（第28章）の帰無分布
ポアソン分布$\mathrm{Po}(\lambda)$
確率関数 $P(X=x)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^x}{x!}$
台・母数 $x=0,1,2,\dots$；$\lambda>0$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\lambda$，${\operatorname{V}}[X]=\lambda$（平均と分散が等しい）．最頻値：$\lambda$ が整数でなければ $\lfloor\lambda\rfloor$，正の整数なら $\lambda-1$ と $\lambda$ の2つ
母関数 $M_X(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}$，$G_X(s)=e^{\lambda(s-1)}$
再生性 $\mathrm{Po}(\lambda_1)+\mathrm{Po}(\lambda_2)=\mathrm{Po}(\lambda_1+\lambda_2)$
主な関係 二項分布の極限（$n\to\infty$，$np=\lambda$）．$X_1\sim\mathrm{Po}(\lambda_1)$，$X_2\sim\mathrm{Po}(\lambda_2)$ 独立なら $X_1\mid X_1+X_2=t\sim\mathrm{Bin}\bigl(t,\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\bigr)$．ポアソン過程の区間内の件数．$\lambda$ がガンマ分布に従う混合は負の二項分布．$P(\mathrm{Po}(\lambda x)\ge n)=P(\mathrm{Ga}(n,\lambda)\le x)$
幾何分布$\mathrm{Geo}(p)$（最初の成功までの失敗回数 $X$）
確率関数 $P(X=x)=pq^x$（試行回数 $Y=X+1$ なら $P(Y=y)=pq^{y-1}$，$y\ge1$）
台・母数 $x=0,1,2,\dots$；$0<p\le1$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac qp$， ${\operatorname{V}}[X]=\dfrac q{p^2}$（${\operatorname{E}}[Y]=\dfrac1p$，${\operatorname{V}}[Y]=\dfrac q{p^2}$）
母関数 $M_X(t)=\dfrac{p}{1-qe^t}$ ($t<-\log q$)，$G_X(s)=\dfrac{p}{1-qs}$
再生性 なし（独立な $r$ 個の和は負の二項分布）
主な関係 $P(X\ge x)=q^x$．無記憶性 $P(X\ge m+n\mid X\ge m)=P(X\ge n)$ をもつ唯一の離散分布（指数分布の離散版）．負の二項分布の $r=1$
負の二項分布$\mathrm{NB}(r,p)$（$r$ 回目の成功までの失敗回数 $X$）
確率関数 $P(X=x)=\dbinom{r+x-1}{x}p^rq^x$（試行回数 $Y=X+r$ なら $\binom{y-1}{r-1}p^rq^{y-r}$）
台・母数 $x=0,1,2,\dots$；$r>0$（実数でも可：$\binom{r+x-1}{x}=\frac{\Gamma(r+x)}{\Gamma(r)x!}$），$0<p\le1$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac{rq}p$， ${\operatorname{V}}[X]=\dfrac{rq}{p^2}$（${\operatorname{E}}[Y]=\dfrac rp$）
母関数 $M_X(t)=\Bigl(\dfrac{p}{1-qe^t}\Bigr)^r$ ($t<-\log q$)，$G_X(s)=\Bigl(\dfrac{p}{1-qs}\Bigr)^r$
再生性 $\mathrm{NB}(r_1,p)+\mathrm{NB}(r_2,p)=\mathrm{NB}(r_1+r_2,p)$（$p$ 共通）
主な関係 幾何分布 $r$ 個の和．${\operatorname{V}}[X]={\operatorname{E}}[X]/p>{\operatorname{E}}[X]$（過分散）．$X\mid\lambda\sim\mathrm{Po}(\lambda)$，$\lambda\sim\mathrm{Ga}(r,b)$ なら $X\sim\mathrm{NB}\bigl(r,\frac{b}{1+b}\bigr)$．$r\to\infty$，$rq/p=\lambda$ 一定で $\mathrm{Po}(\lambda)$
多項分布$\mathrm{Mult}(n;\,p_1,\dots,p_k)$
確率関数 $P(X_1=x_1,\dots,X_k=x_k)=\dfrac{n!}{x_1!\cdots x_k!}\,p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}$
台・母数 $x_i\ge0$，$\sum_i x_i=n$；$p_i\ge0$，$\sum_i p_i=1$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X_i]=np_i$， ${\operatorname{V}}[X_i]=np_i(1-p_i)$， ${\operatorname{Cov}}[X_i,X_j]=-np_ip_j$ ($i\ne j$)
母関数 $M(t_1,\dots,t_k)=\bigl(p_1e^{t_1}+\cdots+p_ke^{t_k}\bigr)^n$
再生性 $\mathrm{Mult}(n_1;{\boldsymbol{p}})+\mathrm{Mult}(n_2;{\boldsymbol{p}})=\mathrm{Mult}(n_1+n_2;{\boldsymbol{p}})$
主な関係 周辺 $X_i\sim\mathrm{Bin}(n,p_i)$．カテゴリを併合しても多項分布．共分散が負なのは合計 $n$ が固定だから．${\operatorname{V}}[X_i-X_j]=n\{p_i+p_j-(p_i-p_j)^2\}$（第9章の比率の差の区間）．独立な $\mathrm{Po}(\lambda_i)$ を合計で条件付けると多項分布

A.2　連続型分布（WB第6章）

連続一様分布$\mathrm{U}(a,b)$
密度関数 $f(x)=\dfrac1{b-a}$，分布関数 $F(x)=\dfrac{x-a}{b-a}$
台・母数 $a\le x\le b$；$a<b$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac{a+b}2$，${\operatorname{V}}[X]=\dfrac{(b-a)^2}{12}$
母関数 $M_X(t)=\dfrac{e^{bt}-e^{at}}{(b-a)t}$ ($t\ne0$，$M_X(0)=1$)
再生性 なし（独立な2個の和は三角分布）
主な関係 $\mathrm{U}(0,1)=\mathrm{Be}(1,1)$．$U\sim\mathrm{U}(0,1)$ なら $-\frac1\lambda\log U\sim\mathrm{Ex}(\lambda)$（逆関数法，第32章）．$\mathrm{U}(0,1)$ の $n$ 個の順序統計量の第 $k$ 番目は $\mathrm{Be}(k,n-k+1)$．連続分布の $F(X)$ は $\mathrm{U}(0,1)$
正規分布$\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$
密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\Bigl\{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr\}$
台・母数 $-\infty<x<\infty$；$\mu\in\mathbb{R}$，$\sigma^2>0$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\mu$，${\operatorname{V}}[X]=\sigma^2$．歪度0，尖度3（超過尖度0）
母関数 $M_X(t)=\exp\bigl(\mu t+\tfrac12\sigma^2t^2\bigr)$
再生性 独立なら $\mathrm{N}(\mu_1,\sigma_1^2)+\mathrm{N}(\mu_2,\sigma_2^2)=\mathrm{N}(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$．一般に $aX+b\sim\mathrm{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)$
主な関係 $Z=(X-\mu)/\sigma\sim\mathrm{N}(0,1)$．$Z^2\sim\chi^2(1)$．$\bar X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2/n)$ で $\bar X$ と $s^2$ は独立．$e^X$ は対数正規．中心極限定理の極限
指数分布$\mathrm{Ex}(\lambda)$（率 $\lambda$）
密度関数 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，$F(x)=1-e^{-\lambda x}$，生存関数 $S(x)=e^{-\lambda x}$
台・母数 $x\ge0$；$\lambda>0$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac1\lambda$，${\operatorname{V}}[X]=\dfrac1{\lambda^2}$，${\operatorname{E}}[X^k]=\dfrac{k!}{\lambda^k}$
母関数 $M_X(t)=\dfrac{\lambda}{\lambda-t}$ ($t<\lambda$)
再生性 なし（率共通の $n$ 個の和は $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$）
主な関係 無記憶性 $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$．ハザード関数は定数 $\lambda$．$\mathrm{Ex}(\lambda)=\mathrm{Ga}(1,\lambda)$．独立な $\mathrm{Ex}(\lambda_i)$ の最小値は $\mathrm{Ex}(\sum\lambda_i)$．ポアソン過程の到着間隔．$2\lambda X\sim\chi^2(2)$
ガンマ分布$\mathrm{Ga}(\alpha,\lambda)$（形状 $\alpha$，率 $\lambda$）
密度関数 $f(x)=\dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}$
台・母数 $x>0$；$\alpha>0$，$\lambda>0$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac\alpha\lambda$， ${\operatorname{V}}[X]=\dfrac\alpha{\lambda^2}$， ${\operatorname{E}}[X^k]=\dfrac{\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha)\lambda^k}$， 最頻値 $\dfrac{\alpha-1}\lambda$ ($\alpha\ge1$)
母関数 $M_X(t)=\Bigl(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\Bigr)^\alpha$ ($t<\lambda$)
再生性 $\mathrm{Ga}(\alpha_1,\lambda)+\mathrm{Ga}(\alpha_2,\lambda)=\mathrm{Ga}(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)$（率 $\lambda$ 共通）
主な関係 $\mathrm{Ga}(1,\lambda)=\mathrm{Ex}(\lambda)$．$\mathrm{Ga}(\frac k2,\frac12)=\chi^2(k)$．$cX\sim\mathrm{Ga}(\alpha,\lambda/c)$．$X\sim\mathrm{Ga}(a,\lambda)$，$Y\sim\mathrm{Ga}(b,\lambda)$ 独立なら $\frac{X}{X+Y}\sim\mathrm{Be}(a,b)$ で $X+Y$ と独立．ポアソン分布の共役事前分布（第31章）
ベータ分布$\mathrm{Be}(a,b)$
密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$，$B(a,b)=\dfrac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$
台・母数 $0<x<1$；$a>0$，$b>0$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\dfrac a{a+b}$， ${\operatorname{V}}[X]=\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$， 最頻値 $\dfrac{a-1}{a+b-2}$ ($a,b>1$)
母関数 積率母関数は簡単な閉じた形をもたない．積率は ${\operatorname{E}}[X^k]=\dfrac{B(a+k,b)}{B(a,b)}$
再生性 なし
主な関係 $\mathrm{Be}(1,1)=\mathrm{U}(0,1)$．$1-X\sim\mathrm{Be}(b,a)$．ガンマ分布の比 $\frac{X}{X+Y}$．$W\sim F(m,n)$ なら $\frac{mW}{n+mW}\sim\mathrm{Be}(\frac m2,\frac n2)$．二項分布の共役事前分布（事後分布 $\mathrm{Be}(a+x,b+n-x)$）
コーシー分布位置 $\mu$，尺度 $\sigma$
密度関数 $f(x)=\dfrac1\pi\cdot\dfrac{\sigma}{\sigma^2+(x-\mu)^2}$，標準形 $\dfrac1{\pi(1+x^2)}$， $F(x)=\dfrac12+\dfrac1\pi\arctan x$
台・母数 $-\infty<x<\infty$；$\mu\in\mathbb{R}$，$\sigma>0$
期待値・分散 期待値も分散も存在しない（$\int|x|f(x)\,\mathrm{d}x=\infty$）．中央値・最頻値は $\mu$
母関数 積率母関数は存在しない（特性関数は $e^{i\mu t-\sigma|t|}$）
再生性 独立なら位置と尺度がそれぞれ加わる．$X_1,\dots,X_n$ が標準コーシーの独立標本なら $\bar X$ も標準コーシー
主な関係 $t(1)$ に等しい．独立な $\mathrm{N}(0,1)$ の比 $Z_1/Z_2$．$\Theta\sim\mathrm{U}(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ なら $\tan\Theta$．大数の法則・中心極限定理が成り立たない例
対数正規分布$\mathrm{LN}(\mu,\sigma^2)$（$\log X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$）
密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{x\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\Bigl\{-\dfrac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr\}$
台・母数 $x>0$；$\mu\in\mathbb{R}$，$\sigma^2>0$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}$， ${\operatorname{V}}[X]=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$， ${\operatorname{E}}[X^k]=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}$．中央値 $e^\mu$，最頻値 $e^{\mu-\sigma^2}$
母関数 積率はすべて存在するが，積率母関数は $t>0$ で存在しない
再生性 和についてはなし．独立な対数正規の積は対数正規（$\mu,\sigma^2$ がそれぞれ加わる）
主な関係 $X=e^Y$，$Y\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$．右に裾が長い（所得・株価のモデル）．${\operatorname{E}}[X]=e^{\mu+\sigma^2/2}$ は正規の積率母関数 $M_Y(1)$
多変量正規分布$\mathrm{N}_p({\boldsymbol{\mu}},{\boldsymbol{\Sigma}})$
密度関数 $f({\boldsymbol{x}})=\dfrac{1}{(2\pi)^{p/2}|{\boldsymbol{\Sigma}}|^{1/2}}\exp\Bigl\{-\dfrac12({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{\mu}})^\top{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}({\boldsymbol{x}}-{\boldsymbol{\mu}})\Bigr\}$
2変量の場合 $f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Bigl[-\dfrac{1}{2(1-\rho^2)}\Bigl\{\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\dfrac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\Bigr\}\Bigr]$
台・母数 ${\boldsymbol{x}}\in\mathbb{R}^p$；${\boldsymbol{\mu}}\in\mathbb{R}^p$，${\boldsymbol{\Sigma}}$ は正定値対称行列
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[{\boldsymbol{X}}]={\boldsymbol{\mu}}$，${\operatorname{V}}[{\boldsymbol{X}}]={\boldsymbol{\Sigma}}$
母関数 $M({\boldsymbol{t}})=\exp\bigl({\boldsymbol{\mu}}^\top{\boldsymbol{t}}+\tfrac12{\boldsymbol{t}}^\top{\boldsymbol{\Sigma}}{\boldsymbol{t}}\bigr)$
再生性 線形変換で閉じる：$A{\boldsymbol{X}}+{\boldsymbol{b}}\sim\mathrm{N}(A{\boldsymbol{\mu}}+{\boldsymbol{b}},\ A{\boldsymbol{\Sigma}}A^\top)$．独立な和も多変量正規
主な関係 周辺分布は正規．無相関 $\Leftrightarrow$ 独立．条件付き分布 ${\boldsymbol{X}}_1\mid{\boldsymbol{X}}_2={\boldsymbol{x}}_2\sim\mathrm{N}\bigl({\boldsymbol{\mu}}_1+{\boldsymbol{\Sigma}}_{12}{\boldsymbol{\Sigma}}_{22}^{-1}({\boldsymbol{x}}_2-{\boldsymbol{\mu}}_2),\ {\boldsymbol{\Sigma}}_{11}-{\boldsymbol{\Sigma}}_{12}{\boldsymbol{\Sigma}}_{22}^{-1}{\boldsymbol{\Sigma}}_{21}\bigr)$．2変量なら ${\operatorname{E}}[Y\mid x]=\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1)$，${\operatorname{V}}[Y\mid x]=\sigma_2^2(1-\rho^2)$．$({\boldsymbol{X}}-{\boldsymbol{\mu}})^\top{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}({\boldsymbol{X}}-{\boldsymbol{\mu}})\sim\chi^2(p)$
混合正規分布$\pi\,\mathrm{N}(\mu_1,\sigma_1^2)+(1-\pi)\,\mathrm{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$
密度関数 $f(x)=\pi\,\phi(x;\mu_1,\sigma_1^2)+(1-\pi)\,\phi(x;\mu_2,\sigma_2^2)$（$\phi$ は正規密度）
台・母数 $-\infty<x<\infty$；$0\le\pi\le1$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[X]=\pi\mu_1+(1-\pi)\mu_2$，
${\operatorname{V}}[X]=\pi\sigma_1^2+(1-\pi)\sigma_2^2+\pi(1-\pi)(\mu_1-\mu_2)^2$（群内分散の平均＋群間分散）
母関数 $M_X(t)=\pi e^{\mu_1t+\sigma_1^2t^2/2}+(1-\pi)e^{\mu_2t+\sigma_2^2t^2/2}$
主な関係 確率変数の和ではなく密度の加重平均．どの成分から出たかを潜在変数とみなすと EM アルゴリズム（第24章・第29章）．分散は全分散の公式 ${\operatorname{V}}[X]={\operatorname{E}}[{\operatorname{V}}[X\mid G]]+{\operatorname{V}}[{\operatorname{E}}[X\mid G]]$ で導く

A.3　標本分布と非心分布（WB第6章）

カイ二乗分布$\chi^2(k)$
定義 $Z_1,\dots,Z_k\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathrm{N}(0,1)$ のとき $W=Z_1^2+\cdots+Z_k^2$
密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}$
台・母数 $x>0$；自由度 $k$（正の整数）
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[W]=k$，${\operatorname{V}}[W]=2k$
母関数 $M_W(t)=(1-2t)^{-k/2}$ ($t<\frac12$)
再生性 $\chi^2(k_1)+\chi^2(k_2)=\chi^2(k_1+k_2)$
主な関係 $\chi^2(k)=\mathrm{Ga}(\frac k2,\frac12)$，$\chi^2(2)=\mathrm{Ex}(\frac12)$．正規標本で $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$（$\bar X$ と独立）．$k$ が大きいと $\mathrm{N}(k,2k)$．適合度・独立性・尤度比検定の漸近帰無分布
$t$ 分布$t(m)$
定義 $Z\sim\mathrm{N}(0,1)$ と $W\sim\chi^2(m)$ が独立のとき $T=\dfrac{Z}{\sqrt{W/m}}$
密度関数 $f(x)=\dfrac{\Gamma(\frac{m+1}2)}{\sqrt{m\pi}\,\Gamma(\frac m2)}\Bigl(1+\dfrac{x^2}m\Bigr)^{-\frac{m+1}2}$
台・母数 $-\infty<x<\infty$；自由度 $m$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[T]=0$ ($m\ge2$)，${\operatorname{V}}[T]=\dfrac m{m-2}$ ($m\ge3$)
母関数 積率母関数は存在しない（$m$ 次以上の積率が存在しない）
再生性 なし
主な関係 正規標本で $\dfrac{\bar X-\mu}{s/\sqrt n}\sim t(n-1)$．$t(1)$ はコーシー分布．$m\to\infty$ で $\mathrm{N}(0,1)$．$T^2\sim F(1,m)$，したがって（上側点どうしで）$t_{\alpha/2}(m)^2=F_\alpha(1,m)$
$F$ 分布$F(m,n)$
定義 $W_1\sim\chi^2(m)$ と $W_2\sim\chi^2(n)$ が独立のとき $F=\dfrac{W_1/m}{W_2/n}$
密度関数 $f(x)=\dfrac{1}{B(\frac m2,\frac n2)}\Bigl(\dfrac mn\Bigr)^{m/2}x^{m/2-1}\Bigl(1+\dfrac mnx\Bigr)^{-\frac{m+n}2}$
台・母数 $x>0$；自由度 $(m,n)$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[F]=\dfrac n{n-2}$ ($n\ge3$)，${\operatorname{V}}[F]=\dfrac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$ ($n\ge5$)
母関数 積率母関数は存在しない
再生性 なし
主な関係 $1/F\sim F(n,m)$．$F_\alpha(m,n)$ を上側 $100\alpha\%$ 点（$P(F>F_\alpha(m,n))=\alpha$）とすると，下側 $100\alpha\%$ 点は $F_{1-\alpha}(m,n)=1/F_\alpha(n,m)$（自由度が入れ替わる）．$t(n)^2=F(1,n)$．$\frac{mF}{n+mF}\sim\mathrm{Be}(\frac m2,\frac n2)$．正規2標本で $\dfrac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$．分散分析・回帰の $F$ 検定
非心カイ二乗分布$\chi^2(k,\lambda)$
定義 $X_i\sim\mathrm{N}(\mu_i,1)$ 独立（$i=1,\dots,k$）のとき $W=\sum X_i^2$，非心度 $\lambda=\sum\mu_i^2$
密度関数 $f(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda/2}\frac{(\lambda/2)^j}{j!}\,f_{\chi^2(k+2j)}(x)$（中心カイ二乗のポアソン混合）
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[W]=k+\lambda$，${\operatorname{V}}[W]=2k+4\lambda$
母関数 $M_W(t)=(1-2t)^{-k/2}\exp\Bigl(\dfrac{\lambda t}{1-2t}\Bigr)$ ($t<\frac12$)
再生性 $\chi^2(k_1,\lambda_1)+\chi^2(k_2,\lambda_2)=\chi^2(k_1+k_2,\lambda_1+\lambda_2)$
主な関係 $\lambda=0$ で中心カイ二乗．分布は ${\boldsymbol{\mu}}$ の長さ $\lambda$ だけで決まる．対立仮説のもとでのカイ二乗統計量の分布（検出力計算）
非心 $t$ 分布$t(m,\delta)$
定義 $Z\sim\mathrm{N}(0,1)$ と $W\sim\chi^2(m)$ が独立のとき $T=\dfrac{Z+\delta}{\sqrt{W/m}}$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[T]=\delta\sqrt{\dfrac m2}\,\dfrac{\Gamma(\frac{m-1}2)}{\Gamma(\frac m2)}$ ($m\ge2$)，${\operatorname{V}}[T]=\dfrac{m(1+\delta^2)}{m-2}-{\operatorname{E}}[T]^2$ ($m\ge3$)
母関数 積率母関数は存在しない
主な関係 $\delta=0$ で $t(m)$．正規1標本で真の平均が $\mu_1$ のとき $\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}\sim t\bigl(n-1,\ \delta\bigr)$，$\delta=\dfrac{\sqrt n(\mu_1-\mu_0)}{\sigma}$．$t$ 検定の検出力は $P(|T|>t_{\alpha/2}(n-1))$ をこの分布で計算する
非心 $F$ 分布$F(m,n,\lambda)$
定義 $W_1\sim\chi^2(m,\lambda)$ と $W_2\sim\chi^2(n)$ が独立のとき $F=\dfrac{W_1/m}{W_2/n}$
期待値・分散 ${\operatorname{E}}[F]=\dfrac{n(m+\lambda)}{m(n-2)}$ ($n\ge3$)，${\operatorname{V}}[F]=2\Bigl(\dfrac nm\Bigr)^2\dfrac{(m+\lambda)^2+(m+2\lambda)(n-2)}{(n-2)^2(n-4)}$ ($n\ge5$)
母関数 積率母関数は存在しない
主な関係 $\lambda=0$ で $F(m,n)$．分散分析で処理効果があるとき $F$ 統計量が従う分布で，非心度は $\lambda=\sum_i r(\alpha_i)^2/\sigma^2$（1元配置，繰り返し $r$，$\alpha_i$ は処理効果）．検出力計算に使う

A.4　期待値・分散の早見表

上の表から期待値と分散だけを抜き出しました．試験では「分布名 $\to$ 期待値・分散」を反射的に書けることが時間短縮につながります．

離散型 期待値 分散 離散型 期待値 分散
離散一様 $\frac{N+1}2$ $\frac{N^2-1}{12}$ ポアソン $\lambda$ $\lambda$
ベルヌーイ $p$ $pq$ 幾何（失敗数） $\frac qp$ $\frac q{p^2}$
二項 $np$ $npq$ 負の二項（失敗数） $\frac{rq}p$ $\frac{rq}{p^2}$
超幾何 $np$ $npq\frac{N-n}{N-1}$ 多項（第 $i$ 成分） $np_i$ $np_i(1-p_i)$
連続型 期待値 分散 連続型 期待値 分散
連続一様 $\frac{a+b}2$ $\frac{(b-a)^2}{12}$ コーシー なし なし
正規 $\mu$ $\sigma^2$ 対数正規 $e^{\mu+\sigma^2/2}$ $e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$
指数 $\frac1\lambda$ $\frac1{\lambda^2}$ $\chi^2(k)$ $k$ $2k$
ガンマ $\frac\alpha\lambda$ $\frac\alpha{\lambda^2}$ $t(m)$ $0$ $\frac m{m-2}$
ベータ $\frac a{a+b}$ $\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$ $F(m,n)$ $\frac n{n-2}$ $\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$

A.5　分布の関係図

図A.1は，上の表の「主な関係」の行を1枚にまとめたものです．矢印の根元の分布から，矢印に書いた操作（和，極限，変換，比など）で先の分布が得られます．上段が離散型，下段が連続型です．

図 A.1 主な確率分布の関係（実線：正確な関係，破線：極限・近似）．このほか，ポアソン分布の $\lambda$ をガンマ分布で混合すると負の二項分布，$t(m)$ は $m\to\infty$ で正規分布，非心分布は各分布の定義の正規変数の平均を0からずらしたもの
図 A.1 主な確率分布の関係（実線：正確な関係，破線：極限・近似）．このほか，ポアソン分布の $\lambda$ をガンマ分布で混合すると負の二項分布，$t(m)$ は $m\to\infty$ で正規分布，非心分布は各分布の定義の正規変数の平均を0からずらしたもの

B　推定・検定の公式一覧

以下の表は，各行を「状況」$\to$「統計量と帰無分布」$\to$「棄却域（有意水準 $\alpha$，両側）と信頼区間（信頼係数 $1-\alpha$）」の順に読みます．片側検定では $\alpha/2$ を $\alpha$ に替え，棄却域を一方の側だけにします．標本は特に断らない限り正規母集団からの無作為標本で，2標本の場合は標本の大きさを $m,n$（第1標本 $X$，第2標本 $Y$），不偏分散を $s_1^2,s_2^2$ とします．詳しくは第9章〜第13章，第16章，第20章，第28章を参照してください．

B.1　正規母集団の平均（第9章・第11章）

状況 統計量 $\sim$ 帰無分布 棄却域 ／ 信頼区間
1標本，$\sigma^2$ 既知 $Z=\dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim\mathrm{N}(0,1)$

$|Z|>z_{\alpha/2}$

$\bar X\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$
1標本，$\sigma^2$ 未知 $T=\dfrac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n}\sim t(n-1)$

$|T|>t_{\alpha/2}(n-1)$

$\bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s}{\sqrt n}$
対応のある2標本 差 $D_i=X_i-Y_i$ について $T=\dfrac{\bar D}{s_D/\sqrt n}\sim t(n-1)$

$|T|>t_{\alpha/2}(n-1)$

$\bar D\pm t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s_D}{\sqrt n}$
2標本，分散既知 $Z=\dfrac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{\sigma_1^2/m+\sigma_2^2/n}}\sim\mathrm{N}(0,1)$

$|Z|>z_{\alpha/2}$

$\bar X-\bar Y\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}m+\dfrac{\sigma_2^2}n}$
2標本，等分散（未知）

$T=\dfrac{\bar X-\bar Y}{s\sqrt{\frac1m+\frac1n}}\sim t(m+n-2)$

$s^2=\dfrac{(m-1)s_1^2+(n-1)s_2^2}{m+n-2}$

$|T|>t_{\alpha/2}(m+n-2)$

$\bar X-\bar Y\pm t_{\alpha/2}(m+n-2)\,s\sqrt{\dfrac1m+\dfrac1n}$
2標本，不等分散（ウェルチ）

$T=\dfrac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{s_1^2/m+s_2^2/n}}\approx t(\nu)$

$\nu=\dfrac{(s_1^2/m+s_2^2/n)^2}{\frac{(s_1^2/m)^2}{m-1}+\frac{(s_2^2/n)^2}{n-1}}$

$\min(m-1,n-1)\le\nu\le m+n-2$．$\nu$ は一般に整数でない（付表にない値は問題文で与えられる）

$|T|>t_{\alpha/2}(\nu)$

$\bar X-\bar Y\pm t_{\alpha/2}(\nu)\sqrt{\dfrac{s_1^2}m+\dfrac{s_2^2}n}$

B.2　正規母集団の分散（第9章・第11章）

状況 統計量 $\sim$ 帰無分布 棄却域 ／ 信頼区間
1標本の分散（$\mu$ 未知） $\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$

$\chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ または $\chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$

$\Bigl[\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\Bigr]$
1標本の分散（$\mu$ 既知） $\chi^2=\dfrac{\sum(X_i-\mu)^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n)$ 上の式で自由度を $n$，$(n-1)s^2$ を $\sum(X_i-\mu)^2$ に替える
2標本の分散比 $F=\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\sim F(m-1,n-1)$

$F<F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1)$ または $F>F_{\alpha/2}(m-1,n-1)$

下限 $\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\cdot\dfrac{1}{F_{\alpha/2}(m-1,n-1)}$，

上限 $\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\,F_{\alpha/2}(n-1,m-1)$

分散の信頼区間は，上側点（大きい値）が下限の分母に来ます．また $F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1)=1/F_{\alpha/2}(n-1,m-1)$ を使うと，付表の上側点だけで計算できます．

B.3　比率・ポアソン（第9章・第12章）

状況 統計量 $\sim$ 帰無分布 棄却域 ／ 信頼区間
母比率 $p$

正確：$X\sim\mathrm{Bin}(n,p_0)$

スコア検定（正規近似）：$Z=\dfrac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\approx\mathrm{N}(0,1)$

 $|Z|>z_{\alpha/2}$（分散に $p_0$）型区間：$\hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}n}$（分散に $\hat p$）
母比率の差（独立2標本）

$Z=\dfrac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)(\frac1m+\frac1n)}}\approx\mathrm{N}(0,1)$

$\hat p=\dfrac{x_1+x_2}{m+n}$（プール）

$|Z|>z_{\alpha/2}$．$Z^2$ は2×2表の Pearson $\chi^2$（連続修正なし）に等しい

$\hat p_1-\hat p_2\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p_1\hat q_1}m+\dfrac{\hat p_2\hat q_2}n}$
多項分布の2つのセルの比率の差（同一標本） ${\operatorname{V}}[\hat p_1-\hat p_2]=\dfrac{p_1+p_2-(p_1-p_2)^2}n$ $\hat p_1-\hat p_2\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p_1+\hat p_2-(\hat p_1-\hat p_2)^2}n}$
ポアソン1標本

正確：$\sum X_i\sim\mathrm{Po}(n\lambda_0)$

近似：$Z=\dfrac{\bar X-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}\approx\mathrm{N}(0,1)$

$|Z|>z_{\alpha/2}$

$\bar X\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\bar X/n}$
ポアソン2標本（$\lambda_1=\lambda_2$）

条件付き：$X_1\mid X_1+X_2=t\sim\mathrm{Bin}\bigl(t,\frac{n_1}{n_1+n_2}\bigr)$

近似：$Z=\dfrac{\bar X_1-\bar X_2}{\sqrt{\hat\lambda(\frac1{n_1}+\frac1{n_2})}}$，$\hat\lambda$ はプール

$|Z|>z_{\alpha/2}$

差の区間：$\bar X_1-\bar X_2\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\bar X_1}{n_1}+\dfrac{\bar X_2}{n_2}}$

比率の検定・区間では，分散に何を入れるかは方法名で決まります．スコア検定は $p_0$，Wald 型区間（および Wald 検定）は $\hat p$ を使います．Wilson 区間はスコア検定を反転して作る区間で，Wald 型区間とは別物です．比率の差の $Z^2=\chi^2$ の関係は「プールした分散の2標本 $z$ 検定（両側）」と「連続修正なしの Pearson $\chi^2$」の間の関係で，イェーツ補正つきの $\chi^2$，非プールの Wald 型統計量，フィッシャーの正確検定には当てはまりません．

B.4　適合度・分割表・尤度比（第12章・第28章）

状況 統計量 $\sim$ 帰無分布 棄却域・注意
適合度（$k$ カテゴリ）

$\chi^2=\displaystyle\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\approx\chi^2(k-1-q)$

$G^2=2\sum O_i\log\dfrac{O_i}{E_i}$ も漸近的に同じ分布

 $\chi^2>\chi^2_\alpha(k-1-q)$．$q$ は推定した母数の数．期待度数5未満のセルは併合
独立性（$r\times c$ 表） $E_{ij}=\dfrac{n_{i\cdot}n_{\cdot j}}{n}$， $\chi^2=\sum\sum\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\approx\chi^2\bigl((r-1)(c-1)\bigr)$ $\chi^2>\chi^2_\alpha((r-1)(c-1))$
2×2表 $\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}$

$\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\approx\chi^2(1)$

イェーツ補正：$|ad-bc|$ を $|ad-bc|-\frac n2$ に

$\chi^2>3.84$（$\alpha=0.05$）

オッズ比 $\hat\psi=\frac{ad}{bc}$，${\operatorname{V}}[\log\hat\psi]\approx\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d$
フィッシャーの正確検定 周辺度数を固定すると $a$ は超幾何分布 観測値以下の確率の点の確率を合計して $P$ 値
尤度比検定 $-2\log\Lambda=2\{\ell(\hat\theta)-\ell(\hat\theta_0)\}\approx\chi^2(d)$（ウィルクスの定理．大標本の近似） $d=$（全体の自由な母数の数）$-$（$H_0$ のもとでの数）．$H_0$ がモデルの入れ子で，正則条件（台が母数によらない，真値が母数空間の内点など）が必要

B.5　ノンパラメトリック検定（第13章）

状況 統計量と帰無仮説のもとでの分布 正規近似
ウィルコクソンの順位和検定（2標本） 全 $N=m+n$ 個を順位付けし，第1群（$m$ 個）の順位和 $W$．帰無分布は $\binom Nm$ 通りの順位の組合せが等確率

${\operatorname{E}}[W]=\dfrac{m(N+1)}2$

${\operatorname{V}}[W]=\dfrac{mn(N+1)}{12}$
符号付き順位検定（対応あり） $|D_i|$ の順位のうち $D_i>0$ のものの和 $T^+$．$2^n$ 通りの符号が等確率

${\operatorname{E}}[T^+]=\dfrac{n(n+1)}4$

${\operatorname{V}}[T^+]=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{24}$
符号検定 正の差の個数 $S\sim\mathrm{Bin}(n,\frac12)$ ${\operatorname{E}}[S]=\frac n2$， ${\operatorname{V}}[S]=\frac n4$
並べ替え検定 群のラベルを全通り並べ替えて統計量の分布を作る （正確法）
クラスカル・ウォリス検定（$k$ 群） $H=\dfrac{12}{N(N+1)}\displaystyle\sum_{i=1}^k\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)$，$R_i$ は第 $i$ 群の順位和 $H\approx\chi^2(k-1)$
スピアマンの順位相関 $r_s=1-\dfrac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}$ ${\operatorname{E}}[r_s]=0$， ${\operatorname{V}}[r_s]=\dfrac1{n-1}$
ケンドールの順位相関 $\tau=\dfrac{P-Q}{n(n-1)/2}$（$P$：同順対，$Q$：逆順対の数） ${\operatorname{E}}[\tau]=0$， ${\operatorname{V}}[\tau]=\dfrac{2(2n+5)}{9n(n-1)}$

B.6　相関係数・回帰係数（第16章）

状況 統計量 $\sim$ 帰無分布 棄却域 ／ 信頼区間
無相関の検定（2変量正規） $T=\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t(n-2)$ $|T|>t_{\alpha/2}(n-2)$
相関係数の区間（フィッシャーの $z$ 変換） $z=\dfrac12\log\dfrac{1+r}{1-r}\approx\mathrm{N}\Bigl(\dfrac12\log\dfrac{1+\rho}{1-\rho},\ \dfrac1{n-3}\Bigr)$ $z\pm\dfrac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n-3}}$ を求め，$\tanh$ で $\rho$ の区間に戻す
回帰係数 $\beta_j$（説明変数 $p$ 個＋切片）

$T=\dfrac{\hat\beta_j-\beta_j^0}{{\operatorname{se}}(\hat\beta_j)}\sim t(n-p-1)$

${\operatorname{se}}(\hat\beta_j)=\sqrt{s^2[(X^\top X)^{-1}]_{jj}}$，$s^2=\dfrac{S_e}{n-p-1}$

$|T|>t_{\alpha/2}(n-p-1)$

$\hat\beta_j\pm t_{\alpha/2}(n-p-1)\,{\operatorname{se}}(\hat\beta_j)$
単回帰の傾き ${\operatorname{se}}(\hat\beta_1)=\dfrac{s}{\sqrt{S_{xx}}}$，$s^2=\dfrac{S_e}{n-2}$ $\hat\beta_1\pm t_{\alpha/2}(n-2)\dfrac{s}{\sqrt{S_{xx}}}$
回帰の有意性（全係数0） $F=\dfrac{S_R/p}{S_e/(n-p-1)}\sim F(p,n-p-1)$ $F>F_\alpha(p,n-p-1)$
部分 $F$ 検定（$q$ 個の係数が0） $F=\dfrac{(S_{e0}-S_{e1})/q}{S_{e1}/(n-p-1)}\sim F(q,n-p-1)$ $F>F_\alpha(q,n-p-1)$．$S_{e0}$ は制約付きモデルの残差平方和

B.7　分散分析表（第16章・第20章）

1元配置（水準数 $a$，第 $i$ 水準の繰り返し $n_i$，総数 $N$）
要因 平方和 自由度 平均平方 $F$ 値
処理（級間） $S_A=\sum_in_i(\bar y_{i\cdot}-\bar y)^2$ $a-1$ $V_A=\frac{S_A}{a-1}$ $\frac{V_A}{V_e}\sim F(a-1,N-a)$
誤差（級内） $S_e=\sum_i\sum_j(y_{ij}-\bar y_{i\cdot})^2$ $N-a$ $V_e=\frac{S_e}{N-a}$
計 $S_T=\sum_i\sum_j(y_{ij}-\bar y)^2$ $N-1$
2元配置（因子 $A$：$a$ 水準，因子 $B$：$b$ 水準，繰り返し $r$，$N=abr$）
要因 平方和 自由度 $F$ 値の帰無分布
$A$ $S_A=br\sum_i(\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y)^2$ $a-1$ $F(\phi_A,\phi_e)$
$B$ $S_B=ar\sum_j(\bar y_{\cdot j\cdot}-\bar y)^2$ $b-1$ $F(\phi_B,\phi_e)$
$A\times B$ $S_{AB}=r\sum_i\sum_j(\bar y_{ij\cdot}-\bar y_{i\cdot\cdot}-\bar y_{\cdot j\cdot}+\bar y)^2$ $(a-1)(b-1)$ $F(\phi_{AB},\phi_e)$
誤差 $S_e=\sum\sum\sum(y_{ijk}-\bar y_{ij\cdot})^2$ $\phi_e=ab(r-1)$
計 $S_T$ $abr-1$

$\phi_A,\phi_B,\phi_{AB}$ はそれぞれの行の自由度で，$F$ 値は各要因の平均平方を誤差の平均平方 $V_e=S_e/\phi_e$ で割ったものです．繰り返しがない（$r=1$）場合や乱塊法（ブロック因子 $B$）では交互作用を誤差とみなし，誤差の自由度は $(a-1)(b-1)$ になります．直交表 $L_8(2^7)$ では各列の自由度が1で，割り付けなかった列の平方和の合計が誤差になります（第20章）．

回帰分析（説明変数 $p$ 個＋切片，$n$ 個の観測）
要因 平方和 自由度 平均平方 $F$ 値
回帰 $S_R=\sum(\hat y_i-\bar y)^2$ $p$ $S_R/p$ $\frac{S_R/p}{S_e/(n-p-1)}$
残差 $S_e=\sum(y_i-\hat y_i)^2$ $n-p-1$ $s^2=\frac{S_e}{n-p-1}$
計 $S_{yy}=\sum(y_i-\bar y)^2$ $n-1$

決定係数 $R^2=\dfrac{S_R}{S_{yy}}=1-\dfrac{S_e}{S_{yy}}$，自由度調整済み決定係数 $R^{*2}=1-\dfrac{S_e/(n-p-1)}{S_{yy}/(n-1)}$，$F=\dfrac{R^2/p}{(1-R^2)/(n-p-1)}$．

B.8　検出力とサンプルサイズ（第10章・第11章）

状況 公式
片側 $z$ 検定の検出力（$H_1:\mu=\mu_1>\mu_0$） $1-\beta=P\Bigl(Z>z_\alpha-\dfrac{\sqrt n(\mu_1-\mu_0)}{\sigma}\Bigr)=\Phi\Bigl(\dfrac{\sqrt n(\mu_1-\mu_0)}{\sigma}-z_\alpha\Bigr)$
必要なサンプルサイズ（片側） $n\ge\Bigl(\dfrac{(z_\alpha+z_\beta)\sigma}{\mu_1-\mu_0}\Bigr)^2$（両側なら $z_\alpha$ を $z_{\alpha/2}$ に替える．反対側で棄却される確率を無視した近似）．$n$ は切り上げ
信頼区間の幅から決める 幅 $2z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n\le L\iff n\ge\Bigl(\dfrac{2z_{\alpha/2}\sigma}{L}\Bigr)^2$．比率なら $\sigma^2$ を $p(1-p)\le\frac14$ に
$t$ 検定の検出力 非心 $t$ 分布 $t(n-1,\delta)$，$\delta=\sqrt n(\mu_1-\mu_0)/\sigma$ で棄却域の確率を計算
よく使う付表の値

$z_{0.05}=1.645$，$z_{0.025}=1.96$，$z_{0.005}=2.576$；$\chi^2_{0.05}(1)=3.84$，$\chi^2_{0.05}(2)=5.99$，$\chi^2_{0.05}(3)=7.81$；$t_{0.025}(10)=2.228$，$t_{0.025}(\infty)=1.96$．

C　準1級 重要公式チェックリスト

各章の「これだけは式を見ずに書けるようにしたい」公式です．すぐに書けたものの□に印をつけ，書けなかったものは該当章に戻って導出から確認しましょう．

第1章　事象と確率
第2章　確率分布と母関数
第3章　分布の特性値
第4章　変数変換
第5章・第6章　離散型分布，連続型分布と標本分布
第7章　極限定理，漸近理論
第8章　統計的推定の基礎
第9章　区間推定
第10章　検定の基礎と検定法の導出
第11章・第12章　正規分布に関する検定，一般の分布に関する検定法
第13章　ノンパラメトリック法
第14章　マルコフ連鎖
第15章　確率過程の基礎
第16章　重回帰分析
第17章　回帰診断法
第18章　質的回帰
第19章　回帰分析その他
第20章　分散分析と実験計画法
第21章　標本調査法
第22章　主成分分析
第23章　判別分析
第24章　クラスター分析
第25章　因子分析・グラフィカルモデル
第26章　その他の多変量解析手法
第27章　時系列解析
第28章　分割表
第29章　不完全データの統計処理
第30章　モデル選択
第31章　ベイズ法
第32章　シミュレーション
補章　統計的因果推論

D　数学の道具箱

準1級で使う数学は，微分積分と線形代数の基本的な道具に限られます．ここでは「本文でどこに使ったか」を添えて要点をまとめます．

D.1　微分積分

部分積分

$$\int_a^b f(x)g'(x)\,\mathrm{d}x=\Bigl[f(x)g(x)\Bigr]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)\,\mathrm{d}x .$$ 「微分すると簡単になるもの」を $f$，「積分しやすいもの」を $g'$ に選びます．$x^ke^{-\lambda x}$ の積分（指数・ガンマ分布の積率），生存関数による期待値 ${\operatorname{E}}[X]=\int_0^\infty S(x)\,\mathrm{d}x$ の導出で使いました．例：$\displaystyle\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x=\Bigl[-xe^{-\lambda x}\Bigr]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x=\frac1\lambda$．

置換積分

$x=\varphi(u)$ とおくと$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm{d}u .$$ 範囲も必ず置き換えます．確率密度の変数変換（第4章）はこの公式そのもので，$|\varphi'(u)|$ がヤコビアンにあたります．2変数では $\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=|J|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$，極座標なら $|J|=r$ です．

ガンマ関数

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x\quad(\alpha>0),$$ $$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha),\qquad \Gamma(n)=(n-1)!,\qquad \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt\pi .$$ たとえば $\Gamma(\frac72)=\frac52\cdot\frac32\cdot\frac12\sqrt\pi=\frac{15}{8}\sqrt\pi\approx3.323$．置換 $x=\lambda t$ から得られる$$\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha}$$ は，ガンマ分布の正規化定数・積率・積率母関数，ポアソン＋ガンマのベイズ計算など，最も出番の多い積分公式です．「被積分関数がガンマ密度の形をしていたら，正規化定数の逆数で置き換える」と覚えます．

ベータ関数

$$B(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}\quad(a,b>0),\qquad B(a,b)=B(b,a).$$ 整数なら $B(a,b)=\dfrac{(a-1)!\,(b-1)!}{(a+b-1)!}$．例：$B(2,3)=\frac{1!\,2!}{4!}=\frac1{12}$．ベータ分布の積率 ${\operatorname{E}}[X^k]=B(a+k,b)/B(a,b)$，二項＋ベータのベイズ計算，$t$・$F$ 分布の正規化定数に現れます．

ガウス積分

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi},\qquad \int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2+bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac\pi a}\,e^{b^2/(4a)}\quad(a>0).$$ 1つ目は2乗して極座標に置換すると $\int_0^{2\pi}\!\int_0^\infty e^{-r^2/2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=2\pi$ から得られます（$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ と同値）．2つ目は平方完成 $-ax^2+bx=-a\bigl(x-\frac b{2a}\bigr)^2+\frac{b^2}{4a}$ から．正規分布の積率母関数，正規事前分布の事後分布の計算は，いずれも「指数の中を平方完成して正規密度の形を作る」作業です．

テイラー展開

$x=a$ のまわりで$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots .$$ よく使う展開（$x=0$ のまわり）：$$e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!},\qquad \frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k\ \ (|x|<1),$$ $$\log(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots\ \ (|x|<1),$$ $$(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+\cdots,\qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac xn\Bigr)^n=e^x .$$ 用途：デルタ法（1次の展開 $g(\bar X)\approx g(\mu)+g'(\mu)(\bar X-\mu)$），積率母関数の展開から積率を読む，ポアソン分布の正規化 $\sum\lambda^x/x!=e^\lambda$，少数法則 $(1-\lambda/n)^n\to e^{-\lambda}$，最尤推定量の漸近正規性（対数尤度の2次展開）．

級数の和

$$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2,\qquad \sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,$$ $$\sum_{k=0}^\infty kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad \sum_{k=0}^\infty k^2x^{k}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\qquad(|x|<1).$$ 前の2つは離散一様分布の期待値・分散や順位統計量（${\operatorname{E}}[W]$，${\operatorname{V}}[W]$）に，後の2つは幾何分布の積率に使います．

ラグランジュの未定乗数法

制約 $g({\boldsymbol{x}})=c$ のもとで $f({\boldsymbol{x}})$ を最大（最小）にする点は，$$L({\boldsymbol{x}},\lambda)=f({\boldsymbol{x}})-\lambda\{g({\boldsymbol{x}})-c\},\qquad \frac{\partial L}{\partial x_i}=0\ (i=1,\dots,p),\quad g({\boldsymbol{x}})=c$$ の解の中にあります．本書での主な用途：

その他の小道具

D.2　線形代数

行列式

$2\times2$：$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$．$3\times3$ はサラスの方法または余因子展開．性質：$$\det(AB)=\det A\det B,\qquad \det A^\top=\det A,$$ $$\det(cA)=c^p\det A\ \ (A\text{ は }p\times p),\qquad \det A=\prod_{i}\lambda_i\ \ (\lambda_i\text{ は固有値}).$$ $\det A\ne0\iff A$ は正則（逆行列が存在）．多変量正規分布の密度の $|{\boldsymbol{\Sigma}}|^{1/2}$，変数変換のヤコビアンに現れます．2変量なら $|{\boldsymbol{\Sigma}}|=\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$．

逆行列

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},$$ $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad (A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top.$$ 一般には掃き出し法か，余因子行列を行列式で割る．単回帰の $(X^\top X)^{-1}$ は $X^\top X=\begin{pmatrix}n&\sum x_i\\\sum x_i&\sum x_i^2\end{pmatrix}$ の逆行列で，$(2,2)$ 成分が $1/S_{xx}$ になります（${\operatorname{V}}[\hat\beta_1]=\sigma^2/S_{xx}$ の由来）．

固有値・固有ベクトル

$A{\boldsymbol{u}}=\lambda{\boldsymbol{u}}$（${\boldsymbol{u}}\ne{\boldsymbol{0}}$）を満たす $\lambda$ が固有値，${\boldsymbol{u}}$ が固有ベクトル．固有値は特性方程式 $\det(A-\lambda I)=0$ の解．$2\times2$ なら$$\lambda^2-({\operatorname{tr}}A)\lambda+\det A=0 .$$ 対称行列の固有値は実数で，異なる固有値の固有ベクトルは直交し，スペクトル分解 $A=\sum_i\lambda_i{\boldsymbol{u}}_i{\boldsymbol{u}}_i^\top=U\Lambda U^\top$（$U$ は直交行列）ができます．例：相関行列 $\begin{pmatrix}1&r\\r&1\end{pmatrix}$ の固有値は $1+r$（固有ベクトル $\frac1{\sqrt2}(1,1)^\top$）と $1-r$（固有ベクトル $\frac1{\sqrt2}(1,-1)^\top$）．どちらが大きいかは $r$ の符号で決まり，$r>0$ なら $(1,1)$ 方向，$r<0$ なら $(1,-1)$ 方向が第1主成分になります．$r=0$ では固有値が重なり固有ベクトルは一意に定まりません．また固有ベクトルは符号を反転しても固有ベクトルです（第22章の主成分分析）．マルコフ連鎖の定常分布は $P^\top$ の固有値1の固有ベクトルです（第14章）．

トレース

${\operatorname{tr}}A=\sum_ia_{ii}=\sum_i\lambda_i$．性質：$${\operatorname{tr}}(A+B)={\operatorname{tr}}A+{\operatorname{tr}}B,\qquad {\operatorname{tr}}(AB)={\operatorname{tr}}(BA),\qquad {\boldsymbol{x}}^\top A{\boldsymbol{x}}={\operatorname{tr}}(A{\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}}^\top).$$ 用途：ハット行列 $H=X(X^\top X)^{-1}X^\top$ の ${\operatorname{tr}}H={\operatorname{tr}}\bigl((X^\top X)^{-1}X^\top X\bigr)=p+1$（てこ比の和），残差平方和の期待値 ${\operatorname{E}}[S_e]=\sigma^2{\operatorname{tr}}(I-H)=(n-p-1)\sigma^2$，主成分の寄与率の分母 ${\operatorname{tr}}{\boldsymbol{\Sigma}}$．

二次形式と正定値

対称行列 $A$ による $Q({\boldsymbol{x}})={\boldsymbol{x}}^\top A{\boldsymbol{x}}=\sum_i\sum_ja_{ij}x_ix_j$ を二次形式という．

行列・ベクトルの微分

スカラー関数 $f({\boldsymbol{x}})$ の勾配を $\dfrac{\partial f}{\partial{\boldsymbol{x}}}=\Bigl(\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\dfrac{\partial f}{\partial x_p}\Bigr)^\top$ と書くと$$\frac{\partial({\boldsymbol{a}}^\top{\boldsymbol{x}})}{\partial{\boldsymbol{x}}}={\boldsymbol{a}},\qquad \frac{\partial({\boldsymbol{x}}^\top A{\boldsymbol{x}})}{\partial{\boldsymbol{x}}}=(A+A^\top){\boldsymbol{x}}\ \ (A\text{ が対称なら }2A{\boldsymbol{x}}).$$ 最小二乗法：$S({\boldsymbol{\beta}})=({\boldsymbol{y}}-X{\boldsymbol{\beta}})^\top({\boldsymbol{y}}-X{\boldsymbol{\beta}})={\boldsymbol{y}}^\top{\boldsymbol{y}}-2{\boldsymbol{\beta}}^\top X^\top{\boldsymbol{y}}+{\boldsymbol{\beta}}^\top X^\top X{\boldsymbol{\beta}}$ を微分して$$\frac{\partial S}{\partial{\boldsymbol{\beta}}}=-2X^\top{\boldsymbol{y}}+2X^\top X{\boldsymbol{\beta}}={\boldsymbol{0}}\ \Longrightarrow\ X^\top X\hat{\boldsymbol{\beta}}=X^\top{\boldsymbol{y}}.$$ リッジ回帰では $\lambda{\boldsymbol{\beta}}^\top{\boldsymbol{\beta}}$ が加わり $(X^\top X+\lambda I)\hat{\boldsymbol{\beta}}=X^\top{\boldsymbol{y}}$．多変量正規の最尤推定では $\dfrac{\partial\log|A|}{\partial A}=(A^{-1})^\top$，$\dfrac{\partial\,{\operatorname{tr}}(AB)}{\partial A}=B^\top$ も使います．

その他の要点

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アプリを無料で開く有料版と無料版の違い